9一.3三重积分及其计算演示教学.ppt

§9.3 三重积分及其计算 一、三重积分的概念 定义 其中 dv 称为体积元，其它术语与二重积分相同 若极限存在，则称函数可积 若函数在闭区域上连续， 则一定可积 由定义可知 三重积分与二重积分有着完全相同的性质 三重积分的物理背景 二、三重积分的计算 如果我们用三族平面 x =常数，y =常数, z =常数对 空间区域进行分割那末每个规则小区域都是长方体 其体积为 故在直角坐标系下的面积元为 三重积分可写成 和二重积分类似，三重积分可化成三次积分进行计算 具体可分为先单后重和先重后单 1.利用直角坐标计算三重积分 ①先单后重 ——也称为先一后二，（ 先z次y后x ） 注意 用完全类似的方法可把三重积分化成其它次序下的三次积分。 化三次积分的步骤 ⑴投影，得平面区域 ⑵穿越法定限，穿入点—下限，穿出点—上限 对于二重积分，我们已经介绍过化为累次积分的方法 o x y z Dxy 例1: 将三重积分 化成三次积分, 其中? 为长方体, 各边界面平行于坐标面. 解: 将? 投影到xoy面得 Dxy : c ? y ? d, a ? x ? b, a b c d (x,y) m l 例2: 计算 平面x+y+z=1所围成的区域. Dxy x y z o 其中? 是三个坐标面与 解: 画出? 在xoy面上的投影区域 Dxy: 0 ? y ? 1–x, 0 ? x ? 1, x+y+z=1 x+y=1 除了上面介绍的先单后重法外，利用先重后单法也可计算三重积分 先重后单，就是先求关于某两个变量的二重积分再求关于另一个变量的定积分 若 f(x,y,z) 在 上连续 介于两平行平面 z = c1 , z = c2 (c1 c2 ) 之间 用任一平行且介于此两平面的平面去截 得区域 则 ②先重后单 易见，若被积函数与 x , y 无关，或二重积分容易计算时，用截面法较为方便， 就是截面的面积，如截面为圆、椭圆、三角形、正方形等，面积较易计算 尤其当 f ( x , y , z ) 与 x , y 无关时 例4 计算 解 故 例5 解一 解二 先单后重 将 投影到 xoy 面得D 先重后单 （用极坐标，用对称性） 此例介绍的是一种计算三重积分的方法，这种方法也具有一定的普遍性，这就是我们将要介绍的柱面坐标系下的计算法 2、在柱坐标系下的计算法 设M(x, y, z)为空间内一点, 并设点M在xoy面上的投影P的极坐标为r, ?, 则这样的三个数r, ?, z 就叫点M的柱面坐标. 规定: 0?r+?, 0?? ?2?, –?z+?. 直角坐标与柱面坐标的变换公式: 三重积分 在柱坐标系和球坐标系下的计算 z x 0 y z M r S ? z r =常数 ? 圆 柱 面 z =常数 ? 垂直z轴的平面 动点M(r, ?, z) 柱面坐标系的坐标面 z x 0 y z M r S ? P ? r =常数 ? 圆 柱 面 z =常数 ? 垂直z轴的平面 动点M(r, ?, z) 柱面坐标系的坐标面 ? =常数 ? 过z轴的半平面 x z y 0 ? dr r rd? d? z 平面z 柱面坐标下的体积元素 元素区域由六个坐标面围成: 半平面?及?+d? ; 半径为r及r+dr的园柱面; 平面z及z+dz; x z y 0 ? dr r rd? d? z 底面积:rdrd? dz 平面z+dz . 柱面坐标下的体积元素 元素区域由六个坐标面围成: 半平面?及?+d? ; 半径为r及r+dr的园柱面; 平面z及z+dz; x z y 0 ? dr r rd? d? z 底面积: rdrd? dz . dv 柱面坐标下的体积元素 元素区域由六个坐标面围成: 半平面?及?+d? ; 半径为r及r+dr的园柱面; 平面z及z+dz; 所以: dv = rdrd?dz. 所以 然后再把它化为三次积分来计算. 积分次序一般是先z次r后? . 积分限是根据 z, r, ? 在积分区域中的变化范围来确定. 例1 解 将 投到xoy 面得Dxy： 注 若空间区域为以坐标轴为轴的圆柱体、圆锥体或旋转体时，通常情况下总是考虑使用柱坐标来计算。 例2 注意到 解 3.利用球面坐标计算三重积分 球 面 圆锥面