9多重积分演示教学.ppt

第十章 重积分及曲线积分 第一节 二重积分的概念及性质 一、二重积分的概念 1、曲顶柱体 底面：底在xoy平面上的闭区域D －有界闭区域 侧面：以底D的边界曲线为准线， 而母线平行于z轴的柱面 顶：曲面z=f(x,y)，f(x,y)≥0，在D上连续 求曲顶柱体体积： 3、二重积分的定义 积分区域 积分和 被积函数 积分变量 被积表达式 面积元素 性质１ 当 为常数时， 性质２ （二重积分与定积分有类似的性质） 二、二重积分的性质 性质３ 对区域具有可加性 性质４ 若 为D的面积， 性质５ 若在D上 特殊地 则有 如果积分区域为： 其中函数 、 在区间 上连续. 一、利用直角坐标系计算二重积分 ［X－型］ 应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法, 得 如果积分区域为： ［Y－型］ X型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. 若区域如图， 在分割后的三个区域上分别使用积分公式 则必须分割. 解 积分区域如图 解 积分区域如图 解 原式 解 解 解 二、利用极坐标系计算二重积分 二重积分化为二次积分的公式（１） 区域特征如图 区域特征如图 二重积分化为二次积分的公式（２） 区域特征如图 极坐标系下区域的面积 二重积分化为二次积分的公式（３） 区域特征如图 解 解 解 解 * *