第三章 第五节 微分.ppt

二、微分的几何意义 三、微分法则 例7 * 预习 作业 P148----154 P143: 57(3)(5)(6)(8) 第三章 导数与微分 3.5 微分 函数的导数表示函数关于自变量变化的快慢程度(变化率)．但在许多情况下，需要考察或者估算函数改变量的大小，特别是当自变量发生微小变化时函数改变量的大小．这就需要引进微分的概念． 引例 已知正方形的面积 其边长由 变化到 是边长 的函数 若 一、微分的定义 正方形的面积改变的近似 面积相应的改变量为: 如图中蓝色部分区域即表示 很微小时, 当 问正方形的面积 改变 了多少? 值是多少? 当边长由 变化到 可以把 分成两部分: 近似地表示 即 因此,当 很少时， 第二部分: (图中纯 的线性函数(图中天蓝部分)， 第一部分: 是 时， 当 蓝部分)， 是比 较高阶的 无穷小量, 可用 问题:是否所有函数的改变量都能在一定的条件下表示为一个线性函数（改变量的主要部分）与一个高阶无穷小的和？ 这个线性部分是什么？ 怎么求？ 设函数y?f(x)在某区间内有定义? x0及x0?Dx在这区间内? 如果函数的增量 Dy?f(x0?Dx)?f(x0) 可表示为 Dy?ADx?o(Dx)? 其中A是不依赖于Dx的常数? o(Dx)是比Dx高阶的无穷小? 那么称函数y?f(x)在点x0是可微的? 而ADx叫做函数y?f(x)在点x0相应于自变量增量Dx的微分? 记作dy? 即 dy?ADx? 微分的定义 由定义知: (微分的实质) 定理 证 必要性 充分性 函数y?f(x)在任意点 x 的微分? 称为函数的微分? 记作dy 或 df(x)? 即 dy ?f ?(x)Dx? 例如? d cos x ? (cos x)?Dx ? ?sin x Dx? dex ? (e x)?Dx ? exDx? 自变量的微分 因为当y=x时? dy = dx = (x)?Dx = Dx? 所以通常把自变量 x 的增量Dx称为自变量的微分? 记作dx? 即 dx ? Dx? 因此? 函数y?f(x)的微分又可记作 dy ?f ?(x) dx? 例1 解 练 习 解 M N T ） 几何意义:(如图) P ( geometrical meaning of the differential ) 以直代曲 导数与微分的区别: ★ 求法: 计算函数的导数,乘以自变量的微分. 1.基本初等函数的微分公式 2. 函数和、差、积、商的微分法则 结论： 四、微分形式的不变性 此性质称为一阶微分的形式不变性. 例2 解 例3 解法1: 利用先求导数再求微分的方法 解法2: 利用微分形式不变性. 例4 解 例5 解 根据积的微分法则 例6 解 根据商的微分法则 方程两边求微分, 得 已知 求 解 利用微分形式不变性, 例8 解 在所给方程两端分别求微分 整理得 例9 解 在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立. 五、微分的应用 可以用该式计算函数增量的近似值. 又因为 所以近似公式又可写作 即 由微分的定义知，当 很小时，有近似公式: 该式可以用来计算函数在 点附近的近似值． 若分别令 在 中, 取 时,上式又变为: 则会得到以下近似计算公式(当 比较小时成立): 已知球体体积为 镀铜体积为 例10 有一批半径为1cm 的球,为了提高球面的光洁度,要镀上一层铜,厚度定为 0.01cm,估计一下,每只球需用铜多少克. 解 因此每只球需用铜约为 (g). 镀铜体积 = 球体积增量 *