Ch3-多元微积分应用教材课程.ppt

模型建立 设在时刻 时, 巡逻艇的位置为 而在时刻 时, 巡逻艇的位置为 此时走私船位于 处. 直线 为巡逻艇在点 处的切线, 该切线与 轴正向 的夹角为 则由已知条件得 再由关系式得 由此得到微分方程: 及相应的初始条件: 由此得到追踪问题的数学模型: 对该问题并不能简单地得到相应的解析解. 我们用数值方法得到该问题的数值解, 并描绘出相应 的追踪曲线, 设走私船的速度为 巡逻艇的速度为 两船相距 首先建立函数文件: 再编写求解程序 程序运行过程中描绘巡逻艇的追踪曲线. 速度分量曲线图形 追踪曲线图形 该方程的解析解为 相应的函数图形为 求解程序为 运行后得到图形为 例 求解微分方程组 解 边界条件为： 图形为 例 求解微分方程组 解 边界条件为： 相轨线 自然界中不同种群之间存在着一种非常有趣的既有依 存, 又有制约的生存方式: 种群甲靠丰富的自然资源生 长, 而种群乙靠捕食种群甲为生, 食用鱼和鲨鱼、美洲 兔和山猫、落叶松和蚜虫等都是这种生存方式的典型. 生态学上称种群甲为食饵（ Prey）, 种群乙为捕食者 （ Predator）, 二者共处组成食饵-捕食者系统（简称P-P 系统）. 近百年来许多数学家和生态学家对这一系统进 行了深入的研究, 建立了一系列的数学模型, 下面介绍 P-P系统最初的、最简单的一个模型—Volterra模型. 1.模型建立 捕食者（乙）数量为 设在时刻 时食饵（甲）数量为 甲独立生存的增长率为 即 乙的存在使甲的增长率减小, 减少量与 成正比, 即 ⑴ 乙独立生存的死亡率为 即 甲的存在使乙的死亡率减少, 减少量与 成正比, 即 ⑵ 上两式中的系数 分别表示捕食者掠取食饵的能力 食饵供养捕食者的能力. 方程⑴与⑵反应的是自然环境下食饵与捕食者之间相 互依存和相互制约的关系, 注意到, 该模型中并没有考虑 种群自身的阻滞增长关系. 模型分析 方程⑴和⑵无解析解! 2.模型求解 用MatLab中微分方程的数值解方法可以得到该问题的 数值解, 并用相轨线可以对模型作进一步的分析. 首先建立函数文件 再建立脚本文件 运行该文件: 鼠标控制输入字符 由数值解所得到的食饵着与捕食者的曲线图形 说明什么! 相应的相轨线图为: 相轨线 时间 同步增长 前 行数据分析: 再分析中间的部分数据: 时间 此时食饵的数量滞涨然后开始迅速回落, 但捕食者的数 量仍在增加, 同步减少 时间 时间 开始增加 继续减少 同步增加 时间 此时各项数据如下: 周期约为 在一周期的平均值为 应用 田鼠和猫头鹰 田鼠和其天敌猫头鹰在田间的群种消长规律也服从 Volterra模型. 根据一段时间的观察, 得到下面一组数据对: 田鼠 29.7 33.1 32.5 69.1 134.2 236.0 269.6 162.3 69.6 猫头鹰 128 104 88 96 88 104 144 176 192 39.8 34.0 20.7 21.7 37.6 57.6 124.6 215.8 272.7 195.7 95.0 168 152 120 120 96 72 88 104 128 184 192 41.9 25.7 10.9 22.6 33.6 48.1 92.5 183.3 268.5 230.6 111.1 168 136 144 112 96 80 72 88 104 152 184 田鼠和猫头鹰数据 试建立相应的模型和曲线形式. 模型分析 首先做出散点图: 可以看到, 该曲线符合Volterra模型特征. 如同前面分析, 设 是食饵—田鼠的数量, 而 是其天 敌猫头鹰的数量, 则有方程 问题是如何得到其中的未知参数. 将上面的方程变形, 得到 即有 用数值微分取代微分, 再用矩阵形式的曲线拟合方法, 得 相应的曲线为 相轨线为 应用 缉私艇问题 问题背景 缉私雷达发现: 距离 处有一走私船正一匀速 沿直线 行驶, 缉私船立即以最大速度（匀速 ）追赶, 若用雷达 进行跟踪, 保持船的瞬时速度方向始终指向走私船, 则 缉私船的运动轨迹如何? 是否能追上走私船? 如果能追 上, 需要多长时间? 图形为 该方程的解析解为 曲