Chap 9 柱坐标系与球坐标系下分离变量-20131222方案研究.ppt

1 在利用分离变量法求解定解问题的时候，对方程和边界条件都要进行变量分离。一般而言，能否应用分离变量法，除了和方程和边界条件本身的形式有关之外，还和所选择的坐标系有关系。这个时候要根据边界情况来选取合适的坐标系。在进一步讨论之前，我们引入正交曲线坐标系的概念。 2 正交曲线坐标系 由三族互相正交的曲面定义的坐标系称为正交 曲线坐标系。正交曲线坐标系和直角坐标的关系为： 例：柱坐标系 3 球坐标系 其他正交曲线坐标系还有抛物柱面坐标系、椭球 坐标系等。 4 正交曲线坐标系中的Laplace算符 5 柱坐标系中的Laplace方程 6 7 8 （m 阶Bessel方程） 10 11 这样，Laplace方程在球坐标系下可转化为三个常 微分方程： 第一个方程是 Euler 型方程, 其解为： 12 （l 阶连带 Legendre 方程） 13 Helmholtz 方程 对齐次振动方程或者传导扩散方程中的时间和空间 变量实施变量分离可以把泛定方程简化如下： 关于空间部分的方程称为Helmholtz方程。 14 柱坐标系中的 Helmholtz 方程 15 16 17 (m 阶Bessel方程) 18 球坐标系下的 Helmholtz 方程 19 20 21 第一个方程称为 l 阶球Bessel方程。 第三个方程是连带Legendre方程。 22 三类数学物理方程 Laplace方程、Helmholtz方程 Legendre方程、Bessel方程 分离时间空间变量 分离空间坐标变量 23 在正交曲线坐标系中对泛定方程分离变量会出现 各种各样的常微分方程，一般可表示如下： 通常这些方程还要满足相应的定解条件的要求， 这可以归结为求解以下定解问题： 24 这些线性二阶常微分方程常常不能用通常的解法解出，但可用幂级数解法解出． 所谓幂级数解法，就是在某个任意点 z0 的邻域上，把待求的解表为系数待定的幂级数，代入方程以逐个确定系数． 幂级数解法是一个比较普遍的方法，适用范围较广，可借助于解析函数的理论进行讨论． 求得的解既然是级数，就有是否收敛以及收敛范围的问题. 尽管幂级数解法较为繁琐，但它可广泛应用于微分方程问题的求解中． 几点说明 25 不失一般性，我们讨论复变函数 w(z) 的线性二阶 常微分方程的级数解： 26 常点邻域内解的存在性 27 Legendre 方程的级数解 28 由相应幂次的展开系数为零可得： 29 30 这样 l 阶 Legendre 方程的级数解是： 31 幂级数解的收敛半径 因为： 所以 l 阶Legendre的级数解在单位圆内收敛，在 单位圆外发散。 （Gauss判别法, P475） 32 怎么办？ 33 34 在球坐标系下对Laplace方程和Helmholtz方程分离 变量得到如下球函数方程： 对球函数进一步分离变量，并考虑自然边界条件的 要求，得到如下分离变量形式的球函数： 其中关于θ 部分的函数是连带Legendre方程的解。 35 轴对称球函数 36 37 38 部分 Legendre 多项式的表达式 （图形参见课本P276图10-1） 39 Legendre 多项式的微分与积分表示 40 Legendre 多项式的性质 Legendre 多项式还可以表示为 Laplace 积分： 从Laplace 积分形式可以证明Legendre多项式有如下性质： 41 Legendre 多项式的生成函数—母函数 点电荷产生的静电势在空间中的分布函数满足Laplace方程， 而且以极轴为对称轴；因此，我们有： 42 43 如果在半径为 R 的球的北极放置同样电量的点电荷，结果如何？ 44 递推公式 45 其他递推公式 46 Legendre 多项式的正交关系 可以证明不同阶的Legendre多项式相互正交： 47 Legendre多项式的模与归一化因子 （可以用数学归纳法证明） Legendre多项式的模为： 归一化因子为： 48 函数用Legendre多项式展开 49 50 51 52 连带 Legendre 方程 连带Legendre方程为： 作变换： 代入方程并整理可得： 可以证明，上述方程可以由 Legendre 方程逐项求导 m 次得到。 53 从而该方程的解是 Legendre 方程的解的 m 阶导数。 这样，连带Legendre方程的解为： 上述解称为连带Legendre函数。 连带Legendre方程和自然边界条件也构成本征值问题， 本征值是 l ( l + 1), l 取非负整数。本征函数就是连