D10-习题课知识讲稿.ppt

习题课 一、 内容小结 二、 例题分析 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十章 重积分的计算及应用 定 义 几何意义 性 质 计算法 应 用 二重积分 定 义 几何意义 性 质 计算法 应 用 三重积分 主要内容: 1、二重积分的定义 ２、二重积分的几何意义 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积． 当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的值． 性质１ 性质２ ３、二重积分的性质 性质３ 对区域具有可加性 性质４ 性质５ 若在D上， 特殊地 性质６ 性质７ （二重积分中值定理） ４、二重积分的计算 ［X－型］ X-型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. （１）直角坐标系下　 （２）极坐标系下　 5、二重积分的应用 (1) 体积 设S曲面的方程为： 曲面S的面积为 (2) 曲面积 当薄片是均匀的，质心称为形心. (3) 质心 薄片对于x轴的转动惯量 薄片对于y轴的转动惯量 (4) 转动惯量 (5) 引力 6、三重积分的定义 7、三重积分的几何意义 8、三重积分的性质 类似于二重积分的性质． 9、三重积分的计算 (１) 直角坐标 (２) 柱面坐标 (３) 球面坐标 10、三重积分的应用 (１) 质心 (２) 转动惯量 一、重积分计算的基本方法 1. 选择合适的坐标系 使积分域多为坐标面(线)围成; 被积函数用此坐标表示简洁或变量分离. 2. 选择易计算的积分序 积分域分块要少, 累次积分易算为妙 . 图示法 列不等式法 (从内到外: 面、线、点) 3. 掌握确定积分限的方法 — 累次积分法 归纳： 二、重积分计算的基本技巧 分块积分法 利用对称性 1. 交换积分顺序的方法 2. 利用对称性或质心公式简化计算 3. 消去被积函数绝对值符号 4. 利用扩展积分域进行计算 例题分析 例1. 解: X-型 例2. 解: 先去掉绝对值符号，如图 例3. 解: 例4. 解: 利用球面坐标 例5. 解: 注：选择积分次序会影响积分的难易，在积分 解：先画D 图，考虑先对 y 后对 x 的积分 解：交换积分次序 例6. 例7. 不易或无法积分时，可以考虑交换积分次序。 解1： 内层没有初等原函数，故先对 x 积分 例8. 画出域D 解2： 注：被积函数有绝对值符号时， 例9. 解： 每一部分区域中被积函数符号单一。 将积分区域分成几部分，使得在 解: 注:坐标系的选择会影响积分的难易,甚至决定是否求得 例11. 下列等式是否成立？说明理由. 成立 说明：D 关于 y 轴对称，f(x,y) 是 x 的奇函数 例10 出,在一种坐标系下不易求时,可考虑选择其它坐标系. 说明：D关于 y 轴 x 轴对称，f(x,y) 是 x，y 的偶函数 成立 不成立 说明：这里D有对称性，f 没有对称性，故不成立 成立 不成立 说明：f( x , y , z ) =z 中不含 x , y 是 x , y 的偶函数, 注:重积分可利用对称性化简计算,但应注意条件, 成立 除考虑区域对称外,还应考虑被积函数的对称性. 解：法一 选直角坐标系 法二 灵活选择坐标系， 例12 左边选择直角坐标系. 原式 右边选极坐标系， 例1. 计算二重积分 其中: (1) D为圆域 解: (1) 利用对称性. 围成 . 【备用题】 (2) 积分域如图: 将D 分为 添加辅助线 利用对称性 , 得 例2. 计算二重积分 其中D 是由曲 所围成的平面域 . 解: 其形心坐标为: 面积为: 积分区域 线 形心坐标 例3. 计算二重积分 在第一象限部分. 解: (1) 两部分, 则 其中D 为圆域 把D 分成 作辅助线 (2) 提示: 两部分 说明: 若不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号. 作辅助线 将D 分成 例4. 求抛物线 所围区域 D 的面积A . 解:如图所示 注: 则也可利用上述方法简化计算. 上可积 , 例5. 交换积分顺序计算 解. 积分域如图.