D10-重积分习题课方案研究.ppt

习题课 一、 二重积分计算 二、三重积分计算 三、重积分的应用 第十章 重积分的 计算 及应用 一.二重积分的计算法 若D为 X - 型区域 则 若D为Y - 型区域 则 1、利用直角坐标计算二重积分 2、利用极坐标计算二重积分 （1）若积分区域为圆或圆的一部分 （2）被积函数含 什么情况用极坐标 3、二重积分的几何意义 曲顶柱体体积: 二.三重积分的计算方法 方法1. “先一后二” 方法2. “先二后一” 三次积分 1.直角坐标 性质： ( 面、线、点) 2. 利用柱坐标计算三重积分 因此 其中 适用范围: 1) 积分域表面为柱面或球面（或一部分） ; 2) 被积函数含 3. 利用球面坐标计算三重积分 其中 适用范围: 1) 积分域表面为球面（或一部分） ; 2) 被积函数含 1、曲面的面积 三、重积分的应用 2、物体的质心 得D 的形心坐标: ( A 为D 的面积) （1）物体是平面薄片, 面密度为 则转动惯量的表达式是二重积分. 3.转动惯量 对 x 轴的转动惯量 对 z 轴的转动惯量 （2）物体是空间体积 y z 1(2). 则 提示: 如图 , 由对称性知 在 上是关于 y 的奇函数 在 上是关于 x 的偶函数 A 2 (3). 计算二重积分 其中D 为圆周 所围成的闭区域. 提示: 利用极坐标 原式 P180 P180/1(3) 证明: 解: 交换积分顺序. P181/ 4. 7. 把积分 化为三次积分, 其中? 由曲面 提示: 积分域为 原式 及平面 所围成的闭区域 . P181 8 (1) .计算积分 其中? 是两个球 ( R 0 )的公共部分. 提示: 由于被积函数缺 x , y , 原式 = 利用“先二后一” 计算方便 . P181 8(2). 其中? 是 所围成的闭区域 . 提示: 被积函数在对称域 ? 上关于 z 为奇函数 , 利用 对称性可知原式为 0. 由球面 P181 8 (3).计算三重积分 其中? 是由 xOy平面上曲线 所围成的闭区域 . 提示: 利用柱坐标 原式 绕 x 轴旋转而成的曲面与平面 P181 练习 1. 计算二重积分 其中: (1) D为圆域 (2) D由直线 围成 . 2. 交换积分顺序计算 1. 计算二重积分 其中: (1) D为圆域 (2) D由直线 解: (1) 利用对称性. 围成 . (2) 积分域如图: 将D 分为 添加辅助线 利用对称性 , 得 2. 交换积分顺序计算 解. 积分域如图. 3 解 利用球面坐标 作业 P182 2（4） 3 9. 设函数 f (x) 连续且恒大于零, 其中 (1) 讨论 F( t ) 在区间 ( 0, +∞) 内的单调性; (2) 证明 t 0 时, (2003考研) 解: (1) 因为 两边对 t 求导, 得 ? f (x) 恒大于零, (2) 问题转化为证 即证 故有 因此 t 0 时, 因 例2. 计算二重积分 其中D 是由曲 所围成的平面域 . 解: 其形心坐标为: 面积为: 积分区域 线 形心坐标 例3. 计算二重积分 在第一象限部分. 解: (1) 两部分, 则 其中D 为圆域 把D 分成 作辅助线 (2) 提示: 两部分 说明: 若不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号. 作辅助线 将D 分成 例4. 求抛物线 所围区域 D 的面积A . 解:如图所示 注: 则也可利用上述方法简化计算. 上可积 , *