D11_6高斯公式知识讲稿.ppt

目录 上页 下页 返回 结束 第六节 高斯公式 Green 公式 Gauss 公式 推广 一、高斯公式 *二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 *三、通量与散度 *通量与散度 第十一章 一、高斯 ( Gauss ) 公式 定理1. 设空间闭区域 ? 由分片光滑的闭曲 ? 上有连续的一阶偏导数 , 下面先证: 函数 P, Q, R 在 面? 所围成, 则有 (Gauss 公式) 高斯 ? 的方向取外侧, 证明: 设 （可用 投影法的那种曲面, ） 则 定理1 介于上下边界曲面之间的柱面部分 所以 若 ? 为其它类型区域 , 则可引进辅助面 将其分割成若干个可用投影法的区域, 故上式仍成立 . 正反两侧面积分正负抵消, 在辅助面 类似可证 三式相加, 即得所证 Gauss 公式： 定理1 说明： 是比较方便的,但Gauss公式同时也说明,可用 (2)公式成立的条件: (1)Gauss公式的实质: 重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系. 表达了空间闭区域上的三 ● ? —封闭曲面； ● ? —方向取外侧； ● 连续； (3)根据Gauss公式,用三重积分来计算曲面积分 曲面积分来计算三重积分. 高斯公式 例1. 利用Gauss 公式计算积分 其中? 为锥面 解: 取上侧 介于z = 0及 z = 2 之间部分的下侧. 所围区域为? , 则用高斯公式得 曲面?不是封闭曲面,为使用高斯公式，添加辅助面: 而 说明： ①应用Gauss公式计算曲面积分时,要求曲面必须 ②Gauss公式要求曲面取外侧这一点也不容忽视， ③在特殊情况下Gauss公式就是Green公式. 是封闭曲面,若不封闭,则需要添加一辅助曲面 使其封闭,而在所添加的曲面上,曲面积分应是 容易计算的,用Gauss公式计算三重积分,最后 减去所补曲面上的积分值,往往可使计算简化； 尤其是对非封闭曲面的曲面积分，所添加的辅助 曲面的侧一定要和所给曲面的侧相容，若不满足 要求,可利用反向性予以调整(相差一个负号)； 在闭区域? 上具有一阶和 二阶连续偏导数, 证明格林( Green )第一公式 例3. 设函数 其中? 是整个? 边界面的外侧. 注意: 高斯公式 注意: 高斯公式 证明:令 由高斯公式得 移项即得所证公式. 例5 . 证明： 由Green 第一公式： (Green 第二公式) 两式相减得证Green 第二公式. *二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 1. 连通区域的类型 设有空间区域 G , 若 G 内任一闭曲面所围成的区域全属于 G, 则称 G 为空间二维单连通域 ; 若 G 内任一闭曲线总可以张一片全属于 G 的曲面, 则称 G 为空间一维单连通域 . 例如, 球面所围区域 环面所围区域 立方体中挖去一个小球所成的区域 不是二维单连通区域 . 既是一维也是二维单连通区域 ; 是二维但不是一维单连通区域 ; 是一维但 2. 闭曲面积分为零的充要条件 定理2. 在空间二维单 连通域G内具有连续一阶偏导数, ? 为G内任一闭曲面, 则 ① 证明: “充分性”. 根据高斯公式可知②是①的充分条件. 的充要条件是: ② “必要性”. 用反证法. 已知①成立, 因P, Q, R 在G内具有连续一阶偏导数 , 则存在邻域 则由 与①矛盾, 故假设不真. 因此条件②是必要的. 取外侧, 高斯公式 得 *三、通量与散度 引例. 设稳定流动的不可压缩流体的密度为1, 速度场为 理意义可知, 设? 为场中任一有向曲面, 单位时间通过曲面? 的流量为 则由对坐标的曲面积分的物 由两类曲面积分的关系, 流量还可表示为 若? 为方向向外的闭曲面, 当? 0 时, 说明流入? 的流体质量少于 当? 0 时, 说明流入? 的流体质量多于流出的, 则单位时间通过? 的流量为 当? = 0 时, 说明流入与流出? 的流体质量相等 . 流出的, 表明? 内有泉; 表明 ? 内有洞 ; 根据高斯公式, 流量也可表为 ? ? 方向向外的任一闭曲面 , 记? 所围域为? , 设? 是包含点 M 且 为了揭示场内任意点M 处的特性, 在?式两边同除以? 的体积 V, 并令? 以 任意方式缩小至点 M 则有 此式反应了流速场在点M 的特点: 其值为正,负或 0, 分别反映在该点有流体涌出, 吸入, 或没有任何变化. 定义: 设有向量场 其中P, Q, R 具有连续一阶偏导数, ? 是场内的一片有向 则称 曲面, 其单位法向量 n, 为向量场 A