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2011 年 7 月 1 日 不等式证明方法的分述 数学与应用数学101班：杨达铭 指导教师：刘利华 （陕西科技大学理学院 陕西 西安 710021） 摘要：不等式证明具有很强的系统性，而且无论是在数学研究或是现实生活中都有极为广泛的应用，其客观性以及条理性对于解决问题拥有着无可替代的做用，不等式的证明需要发散的思维，清楚的条理，在已知结论的前提下对问题进行探索，所以不等式的证明具有它自身独特的魅力，给予更强的思索空间，并伴随社会科学的高速发展问题也愈显复杂，其内在空间有待于开发。 关键词:讨论,分析,条件, 客观 伴随着社会科学的高速发展，不等式已超脱了数值大小上的比较，或是简简单单的数学符号，它已经化为了一系列解决问题的思维和系统，对于不等式解决方法的总结势必将有助于理解掌握。 比较法、分析法、数形结合、反证法、穷举法、归纳法、公式定理证明法等等，方法的选择取决于问题的固有特征，我们需要锻炼对各自特征的明确区分能力，以便于在最短的时间内寻找到，最优的解决办法。 1．比较法 大致可分为做差比较与做商比较两类，做差比较即将比较双方进行减法运算，通过对单个综合式的正负判断，从而达到其比较大小的最终目的，此法客观明了，而难点多在综合式正负判断上，其中分解因式、配凑以及基础函数图像等将有助于我们去分析解决此类问题；而做商比较法与前者相辅相成，比较双方进行除法运算只是判断目标不再是正负而是“1”这个分界点，采用做商比较法的前提条件甚多，所以我们需尤其注意，比如除数是否为零，当比值出现负数时讨论究竟是除式为负、被除式为负，或是需进行详细的条件讨论，以免忽略使用条件而匆匆采用做商比较法出现知名的错误。 简例1 判断X3-2 与 3X2-3X+7 大小 做差：X3-2-3X2+3X-7 X3-3X2+3X-9 即 (X-1)3-8 的数值正负 得到X3时 X3-2 大于 3X2-3X+7 X3时 反之 2．分析法 ①从求证的不等式出发，逐步寻求使不等式成立的充分条件，直至所需条件被确认成立，就断定求证的不等式成立，这种证明方法就是分析法． 有时，我们也可以首先假定所要证明的不等式成立，逐步推出一个已知成立的不等式，只要这个推出过程中的每一步都是可以逆推的，那么就可以断定所给的不等式成立．这也是用分析法，注意应强调“以上每一步都可逆”，并说出可逆的根据． ②分析法的思路是“执果导因”：从求证的不等式出发，探索使结论成立的充分条件直至已成立的不等式．它与综合法是对立统一的两种方法． ③分析法的特点是：从“结论”探求“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理实际上是要寻找结论的充分条件．从书写表达过程而论：分析法叙述繁锁，文辞冗长； 3．数形结合 所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图象的对应关系；（3）曲线与方程的对应关系当n大于等于6的时候n3 n! n=6时，63=216 6!=720 636!，不等式成立。假设当n=k(k为自然数，且k≥6)时，不等式成立，即k3k!n=k+1时，(k+1)3=k3+3k2+3k+1 (k+1)!=(k+1)k!(k+1)k3 (k+1)!-(k+1)3 (k+1)k3-k3-3k2-3k-1 =k4-3k2-3k-1 =(k4-1)-3k(k+1)=(k2+1)(k+1)(k-1)-3k(k+1) =(k+1)[(k2+1)(k-1)-3k]=(k+1)(k3-k2+k-1-3k) =(k+1)(k3-k2-2k-1)=(k+1)(k3-2k2+k2-2k-1) =(k+1)[k2(k-2)+k(k-2)-1]=(k+1)[k(k-2)(k+1)-1] k≥6 k-2≥4 k+1≥7 k(k-2)(k+1)≥6*4*71 k(k-2)(k+1)-10 k+10 (k+1)[k(k-2)(k+1)-1]0 (k+1)!-(k+1)30 (k+1)3(k+1)! 不等式同样成立。综上，n≥6时，不等式n3n!恒成立。中值定理证明极值定理泰勒公式柯西中值定理幂级数展开式[1]李玉琪主编?初等代数研究?北京：中国矿业大学出版社，1993 [2]方初宝等编?数学猜想法浅谈?重庆：科技文献出版社重庆分社，1988 [3]吴德风?不等式与线性规划初步?北京：科学普及出版社，1983 1