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不等式证明大的
2011 年 7 月 1 日
不等式证明方法的分述
数学与应用数学101班:杨达铭 指导教师:刘利华
(陕西科技大学理学院 陕西 西安 710021)
摘要:不等式证明具有很强的系统性,而且无论是在数学研究或是现实生活中都有极为广泛的应用,其客观性以及条理性对于解决问题拥有着无可替代的做用,不等式的证明需要发散的思维,清楚的条理,在已知结论的前提下对问题进行探索,所以不等式的证明具有它自身独特的魅力,给予更强的思索空间,并伴随社会科学的高速发展问题也愈显复杂,其内在空间有待于开发。
关键词:讨论,分析,条件, 客观
伴随着社会科学的高速发展,不等式已超脱了数值大小上的比较,或是简简单单的数学符号,它已经化为了一系列解决问题的思维和系统,对于不等式解决方法的总结势必将有助于理解掌握。
比较法、分析法、数形结合、反证法、穷举法、归纳法、公式定理证明法等等,方法的选择取决于问题的固有特征,我们需要锻炼对各自特征的明确区分能力,以便于在最短的时间内寻找到,最优的解决办法。
1.比较法
大致可分为做差比较与做商比较两类,做差比较即将比较双方进行减法运算,通过对单个综合式的正负判断,从而达到其比较大小的最终目的,此法客观明了,而难点多在综合式正负判断上,其中分解因式、配凑以及基础函数图像等将有助于我们去分析解决此类问题;而做商比较法与前者相辅相成,比较双方进行除法运算只是判断目标不再是正负而是“1”这个分界点,采用做商比较法的前提条件甚多,所以我们需尤其注意,比如除数是否为零,当比值出现负数时讨论究竟是除式为负、被除式为负,或是需进行详细的条件讨论,以免忽略使用条件而匆匆采用做商比较法出现知名的错误。
简例1 判断X3-2 与 3X2-3X+7 大小
做差:X3-2-3X2+3X-7
X3-3X2+3X-9 即 (X-1)3-8 的数值正负
得到X3时 X3-2 大于 3X2-3X+7
X3时 反之
2.分析法
①从求证的不等式出发,逐步寻求使不等式成立的充分条件,直至所需条件被确认成立,就断定求证的不等式成立,这种证明方法就是分析法.
有时,我们也可以首先假定所要证明的不等式成立,逐步推出一个已知成立的不等式,只要这个推出过程中的每一步都是可以逆推的,那么就可以断定所给的不等式成立.这也是用分析法,注意应强调“以上每一步都可逆”,并说出可逆的根据.
②分析法的思路是“执果导因”:从求证的不等式出发,探索使结论成立的充分条件直至已成立的不等式.它与综合法是对立统一的两种方法.
③分析法的特点是:从“结论”探求“需知”,逐步靠拢“已知”,其逐步推理实际上是要寻找结论的充分条件.从书写表达过程而论:分析法叙述繁锁,文辞冗长;
3.数形结合
所谓数形结合,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想,实现数形结合,常与以下内容有关:(1)实数与数轴上的点的对应关系;(2)函数与图象的对应关系;(3)曲线与方程的对应关系当n大于等于6的时候n3 n!
n=6时,63=216
6!=720 636!,不等式成立。假设当n=k(k为自然数,且k≥6)时,不等式成立,即k3k!n=k+1时,(k+1)3=k3+3k2+3k+1
(k+1)!=(k+1)k!(k+1)k3
(k+1)!-(k+1)3
(k+1)k3-k3-3k2-3k-1
=k4-3k2-3k-1
=(k4-1)-3k(k+1)=(k2+1)(k+1)(k-1)-3k(k+1)
=(k+1)[(k2+1)(k-1)-3k]=(k+1)(k3-k2+k-1-3k)
=(k+1)(k3-k2-2k-1)=(k+1)(k3-2k2+k2-2k-1)
=(k+1)[k2(k-2)+k(k-2)-1]=(k+1)[k(k-2)(k+1)-1]
k≥6 k-2≥4 k+1≥7 k(k-2)(k+1)≥6*4*71
k(k-2)(k+1)-10 k+10
(k+1)[k(k-2)(k+1)-1]0 (k+1)!-(k+1)30
(k+1)3(k+1)! 不等式同样成立。综上,n≥6时,不等式n3n!恒成立。中值定理证明极值定理泰勒公式柯西中值定理幂级数展开式[1]李玉琪主编?初等代数研究?北京:中国矿业大学出版社,1993
[2]方初宝等编?数学猜想法浅谈?重庆:科技文献出版社重庆分社,1988
[3]吴德风?不等式与线性规划初步?北京:科学普及出版社,1983
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