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变换考虑问题的角度解题例析
变换考虑问题的角度解题例析
有一些数学问题,直接处理需要考虑的情况多、难度大,解起来比较困难。如果根据问题的结构特点,变换考虑问题的角度,即从侧面或问题的反面把握量与量之间的关系,则可以改变解题途径,化繁为简,化难为易,并使思路更为明朗,方法更为巧妙。下面分析几例,以开拓读者的视野。
例1. 1024名乒乓球选手,采取输一场即被淘汰的单淘汰方法争夺单打冠军,问应进行多少场比赛?
分析:此题若直接正面分轮考虑,因为每两人比赛为一场,第一轮比赛需安排场,这样第一轮比赛就淘汰了512名选手;同理,第二轮需安排场,并且赛完第二轮又淘汰了256名选手;依次类推算出每一轮比赛需安排的场次。这样考虑问题虽然也能求出最终结果,但需考虑的类型多,运算量大且易出错。
如果改变直接分轮考虑问题的角度,从侧面考虑:
解:每一场比赛淘汰1名选手,现在1024名选手中,为了产生冠军,即要淘汰掉1023名选手,因此需安排1023场比赛。
例2. k为何值时,关于x的分式方程不会产生增根。
分析:只有当分式方程最简公分母不为零时,方程才不会产生增根,但方程中的公分母不为零的x值有无数个,无法将它们一一代入原方程去分别求k的值。若从“不会产生增根”的反面“会产生增根”考虑,此时的x值不是无数个,而是仅有两个,这样处理起来就容易多了。
解:将原方程去掉分母变形得:,由此得
只有当时,即或时,原方程才会产生增根
当时,;当时,
所以当时,方程会产生增根。
从而,当时,方程不会产生增根。
例3. 如图,已知函数的图像与x轴的负半轴交于A点,与y轴交于B点,O为坐标原点,试证明抛物线上不存在点C,使四边形ABCO为平行四边形。
分析:证明不存在问题往往难于寻觅出解题思路,此时可以从问题的反面入手,先假设存在一点C,然后利用已知条件去推导,这是逆向思维处理问题的常用手段。
证明:由,令,可求得,即抛物线与y轴的交点B的坐标为
再令,即,解得:
点A在x轴的负半轴上
点坐标为
假设抛物线上存在一点C,使四边形ABCO为平行四边形,则AO//BC且AO =BC
,且B、C两点的纵坐标都为
点C的坐标为
而对于,当时,
点不在此抛物线上,即抛物线上不存在点C使四边形ABCO为平行四边形。
练习:二次函数的图像与x轴的交点至少有一个在原点的右侧,求m的取值范围。
年级 初中 学科 数学 版本 期数 内容标题 变换考虑问题的角度解题例析 分类索引号 G.622.46 分类索引描述 辅导与自学 主题词 变换考虑问题的角度解题例析 栏目名称 学法指导 供稿老师 审稿老师 录入 许咏梅 一校 刘连静 二校 审核
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