J 积分new总结归纳.ppt

J 积分 1.J积分的物理意义 大多数金属材料都是中、低强度的，断裂前裂端区都有较大的、不可忽略的塑性变形，这时线弹性断裂力学已不再适用，因此有必要用弹塑性力学方法来求解这类材料的裂纹问题。 但是用弹塑性力学要直接获得裂纹端点区的应力场和应变场是相当困难的。所以，必须避开直接求解裂纹端区的应力场和应变场，而改寻一个力学参量，此力学参量可以综合度量裂端区应力应变场的强度，并可根据此参量来建立韧性断裂的判据，。J积分就是在上述的背景下产生的。 如图所示的单位厚度平板，考虑一条环绕裂纹端点的积分线路C，线路光滑且没有交叉点，所围绕的面积在线路方向的左边。 积分线路由裂纹下表面一点P开始，沿着逆时针方向而到对面的P’点。积分线路元素用ds代表，其外法线单位向量为 ，同时有面力T作用于元素ds上。线路内部面积为A。 Sanders和Rice先后指出：线路C外部对内部做功的速率，大于或等于储存于A中内能的改变率和不可恢复的损耗能量率之和。即为 这里 为面力分量，与应力关系为 ， 是 在x方向或y方向的投影；ui为位移分量；w1为内能密度；D为损耗能。 当大于号成立时，表示裂纹在扩展，动能在改变。现在假设是准静态，等号成立。设损耗能D只用来形成裂纹新面积，则， 这里G是一参数，a是裂纹长度，则有： 因为： 所以： 于是： 或 虽然线路C不封闭，但因裂纹上下表面间距可视为零，加上平面裂纹问题或反平面剪切裂纹问题是对称性，内能密度w1在p和p’点是相同的。因此，数学上的格林定理是适用的，这里格林定理为: 现在Q=W1，P=0，故上式变成： 按照Sanders的推导，对线弹性体，G即为Griffith的能量释放率。对含裂纹的弹塑性体，若内能只是指应变能，则G代表着综合地衡量线路内部应力应变场强度的力学参数。上式由Rice在Sanders的研究基础上首先获得，因此用James Rice名字的第一个字母J来代表G,。 为了表达方便起见，用符号W来代替W1。W是应变能密度。这样得Rice的J积分表达式为： 一个例子 下面以平面应变I型裂纹为例，对线弹性体，如取非常靠近裂纹端点的圆形积分线路C时，可证明J等于能量释放率G。 现在 于是： 在平面应变时，应变能密度： 利用 和 可得位移分量的偏导为 对J积分右边第一项的积分可得 对J积分右边第二项的积分可得 最后得J积分值 以上证明了线弹性体平面应变I型裂纹端点区的J积分值等于能量释放率G。当然此时取的积分线路是以裂端为原点的圆形线路，如果线路不同，计算结果是否仍然相同？下一节将证明积分值与所取的线路无关，因此不论取那条积分线路，线弹性体平面应变I型裂纹积分值恒等于能量释放率。此关系在平面应力时也成立，故恒有： 对于II型裂纹时或III型裂纹，就线弹性体来说，类似的关系仍然存在，即 复合型裂纹时则有 以上关系式的成立是基于Irwin的假设，即裂纹沿着原来方向扩展，从而建立了与应力强度因子间的关系。严格地说，除I型裂纹外，其余不沿着原方向扩展的裂纹型所计算的积分值，也和能量释放率一样是近似值。 当塑性变形比较小时（小范围屈服），虽然塑性区内的应力场、位移场均不清楚，但塑性区外仍可用线弹性力学来计算，以上各式仍然成立。若是塑性变形相当大，此时应力强度因子已不再能表达裂端应力场的强度，线弹性力学给出的应力场位移场也一样不适用，因此，以上各式不再成立。这时J积分就成为衡量有塑性变形时裂端区应力应变场强度的力学参量。由于J积分可以适用于弹塑性变形的情形，而避免直接计算裂端区复杂的应力场，这是J积分对断裂力学的重大贡献。为什么？ 2 J积分的线路无关性 如图，任意选取两逆时针方向的线路C1和C2，加上裂纹表面上的积分线路C3（由P’至Q’）和C4（由Q至P），可定义线路 ，是封闭回路。设封闭回路内的面积为A，现欲证明 首先来证明 利用格林定理，可得 因为弹塑性应变能密度是应变分量的函数，不论应力应变关系是线性或非线性，恒有 因此 线路上的任意积分元素与外法线的关系有 因此 由格林定理，把线积分化为面积分 不论线弹性体也好，弹塑性体也好，平衡条件恒成立，因此首两项分别为零。利用应变位移关系，其余的项可化为 因此 因为在路段C3=0和C4上，dy=0，同时裂纹表面应力自由，即Tx=0和Ty=0，所以对积分值没有贡献，因此证明了上式的成立。相当于证明了 所以，积分的线路无关性证明完毕。 其优越性是什么？ 由于积分的线路无关性，许多裂纹问题可以通过恰当地选择线路而很容易地计算出积分的值来。如图两个例子，无限长平板有对称的半无限长裂纹： (a)在y=±h/2施以固定位移；(b)施固定力矩M于被裂纹分开的