j习题课(重积分)-g教材课程.ppt

第九部分 重积分  一 基本要求 1. 正确理解 二重积分 和三重积分的定义。 2. 了解二重积分和三重积分的性质。 3. 熟练掌握二重积分的计算方法。 4. 掌握三重积分的计算方法 (1)直角坐标系下 (2)柱坐标系下 (3)球坐标系下 (4)问题与注意 5 会用二重积分计算曲面的面积、立体的体积； 以及平面薄片的质量、重心和转动惯量； 6 会用三重积分计算立体的体积以及质量、重心和转动惯量。 二 典型例题 1. 积分换序 2. 选择坐标系,确定积分限 三 课堂练习 1. 填空 2. 选择 3. 计算 第九部分 重积分 . . . 几何意义： 当 f (x,y)  0时， (1) (1)式表示： 一 基本要求 特殊情况： 若在域 D上 f (x,y)  1 = 域 D 的面积. 存在定理： 定义： x0y平面上的域D为底的曲顶柱体的体积。 以 z = f (x,y)为曲顶, ... 1. 二重积分的定义 . . . 物理意义： 当 f ( x,y,z )  0时， (2) (2)式表示 以 µ = f (x,y,z)为体密度的空间物体的质量。 特殊情况： 若在域上 f (x,y,z)  1 = 域  的体积 V. 三重积分的定义 存在定理： 定义： ... 2. 二重积分的性质 保序性: 设 f(x,y), g(x,y) 在有界闭域 D 上可积 : 估值性质: 中值性质: 若在域 D上， f (x,y)  g(x,y), s 是 D 的面积， 则点( , )D, 除了一般性质， 特别要了解比较定理、 估值定理、 中值定理这三个性质。 设 M, m为 f (x,y) 在 D上的最大值和最小值， 三重积分也有类似的三个性质，请学生自己复习。 设 f (x,y) 在有界闭域 D 上连续， 3. 二重积分的计算 问题： 计算方法： 化二重积分为二次积分. (1)根据什么选择坐标系？ 根据被积函数和积分区域的特点。 (2)根据什么选择积分次序？ 根据积分区域 D 的边界的特点： 原则：分块尽可能少，并且积分上、下限简单； 容易根据第一次积分结果计算第二次积分。 注意： (1)无论在什么坐标系下， 转化成二次积分计算时， 积分的下限要小于积分的上限。 (2)灵活运用二重积分的性质简化计算过程。 (3)善于利用被积函数在对称积分区域上的奇偶性 简化计算。具体如下： (1)若积分区域D关于x 轴 而 f (x,y)是 y 的奇(偶)函数， 则 0 当 f (x, –y)= – f (x,y) 当 f (x, –y)= f (x,y) 其中D1是D在上半平面的部分. . (2)若积分区域D关于y 轴对称， 而 f (x,y)是x的奇(偶)函数， 则 0 当 f (–x, y)= – f (x,y) 当 f (–x,y)= f (x,y) 其中D2是D在右半平面的部分. . . (3)若D分别关于x 轴、y轴对称， 而 f (x,y)关于x,y同时为偶函数， 则 当 f (–x,y)= f (x,y) 且f (x,–y)= f (x,y) 其中D3是D在第一象限的部分. 对称， *证明 举例如下 例 1 例 2 由对称性， 设 D1是D在第一象限的部分. . D 因积分区域 D 关于 x 轴对称； 被积函数 是 y 的奇函数 , . . x =1 (2) 柱面坐标系下 z = z dV 由柱面坐标与直角坐标的关系： ( r  0, 0   2, – z + ) 所以，在柱系下，体积元素 . 当积分区域  由不等式： 给出时，有： . . (3)球面坐标系下 当积分区域  由不等式： 由球面坐标与直角坐标的关系： sin drdd . dV = r 2 sin drdd · r 2 ( r  0, 0   2 ) 0     ， 所以，在球系下，体积元素 给出时，有： . . 根据什么选择坐标系？ (4)问题： 根据