liu10-4重积分应用09方案研究.ppt

而 Dxy={(x, y)|?R≤x≤R, 0≤ z ≤H} 在?1上， 故 ?2 ?1 x y R R z H ? 从而 在?2上， 有 所以 (1) 平面薄板D 由静力学, xy平面上n个质点(x1, y1), …, (xn, yn), 其质量分别为m1, …, mn，则该质点系的重心坐标为 其中 分别称 为该质点系对 y 轴和 x 轴的静力矩， 为该质点系的总质量. 2、重心 设平面薄板D，质量面密度 ?(x, y) 则 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? x y 又 若? 为常数，则 其中 称之为形心. (2)立体 ? : 质量体密度 ? (x, y, z) 其中 思考问题 曲面型物体的重心坐标？ 例11. 求r=2sin?和r=4sin?所围均匀薄片 D 的形心. 解：因D关于 y 轴对称，故 ? 形心为 x y 0 3、物体的转动惯量 设物体占有空间区域 ? , 有连续分布的密度函数 该物体位于(x , y , z) 处的微元 因此物体 对 z 轴 的转动惯量: 对 z 轴的转动惯量为 因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和, 故 连续体的转动惯量可用积分计算. 类似可得: 对 x 轴的转动惯量 对 y 轴的转动惯量 对原点的转动惯量 * 1. 重积分在几何方面的应用 3.小结与练习 2.重积分物理应用 “大化小, 常代变, 近似和,取极限” 3、解决问题的相同步骤 1、二重积分概念 2、三重积分概念 4、求解问题的方法 将重积分转化为二次或三次积分进行计算 区域为X-型区域 区域为Y-型区域 （1）二重积分在直角坐标系下的计算: 则 （2）极坐标系情形: 若积分区域为 5.二重积分的计算 6. 三重积分的计算方法 具体计算时应根据 被积函数及积分域的特点灵活选择. 方法1、“先一后二” 方法2、“先二后一” 又叫“投影法” 又叫“截面法” 在柱面坐标系中 在球面坐标系中 在球面坐标系中 体积元素 定限法则: 后积先定限,域内穿射线,先交为下限,后交为上限. (1) 所求量 Q 分布在区域?上，且对?具有可加性： ????i Q??Qi Q=??Qi (2)当?? i 很小时，近似地有?Qi ? f (Xi)??i dQ=f (X)d? 一、微元法 1.二重积分的元素法. 由定积分的元素法推广得到重积分的元素法. 若要计算的某个量 对于闭区域 具有可加性 (即当闭区域 分成许多小闭区域时，所求量 相 相应地分成许多 部分量，且 等于部分量之和)， 并且在闭区域 内任取一个 直径很小的闭区域 时，相应地部分量可近似地 表示为 的形 式，其中 在 内．这个 称为所求 的元素，记为 ，所求量的积分表达式为 量 （一）、面积： 1.平面区域的面积 2.曲面的面积 1. 平面图形面积 例1. 求由抛物线y=(x?2)2+1, 直线y=2x所围图形的面积. 解： y=(x?2)2+1 y=2x ?(1, 2), (5, 10) y=2x y=(x?2)2+1 10 0 1 2 5 2 5 2. 曲面面积 思考问题 设光滑曲面 则面积 A 可看成曲面上各点 处小切平面的面积 d A 无限积累而成. 设它在 D 上的投影为 d? , (称为面积元素) 则 故有曲面面积公式 若光滑曲面方程为 则有 即 若光滑曲面方程为 则有 若光滑曲面方程为隐式 则 且 例2 求半径为 的球面的面积。 解 因为这函数在闭区域 上无界， 我们不能直接求积 所以先取区域 算出相应于 上的球面面积 后， 令 取 的极限就是半球面的面积. 例3：求球面x2+y2+z2=a2含在圆柱面x2+y2=ax(a0)内部的那部分面积. y z x 解：A=4A1 ? : Dxy: x2+y2≤ax, y≥0. z y x Dxy ? z y x Dxy ? ? A=4A1=2(??2)a2 y z x 例3’. 求柱面x2+y2=ax含在球面x2+y2+z2=a2(a0)内部的那部分面积. 解：A=4A1 z y x L 例4. 求由抛物线 z=x2 上从 x=1 到 x=2 的一段绕z 轴旋转一周所生成的旋转曲面的面积. 解：?: z=x2+y2 Dxy: 1≤x2+y2≤2 z=x2 2 0 1 x y z Dxy ? 曲顶柱体的顶为连续曲面 则其体积为 占有空间有界域 ? 的立体的体积为 (二)、体积 任一点的切平面与曲面 所围立体的体积 V . 解: 曲面 的切平面方程为 它与曲面 的交线在 xoy 面上的投影为 (记所围域为D ) 在点 例6. 求曲面 例7. 求圆柱体x2+y2≤ax(a0)被球面