liu10-重积分习题课知识讲稿.ppt

* 定 义 几何意义 性 质 计算法 应 用 二重积分 定 义 几何意义 性 质 计算法 应 用 三重积分 一.主要内容 1、二重积分的计算 ［X－型］ （１）直角坐标系下　 X-型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. ［Y－型］ Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. （２）极坐标系下　 2、二重积分的应用 (1) 体积 设S曲面的方程为： (2) 曲面面积 曲面S的面积为 (3) 重心 (4) 转动惯量 (5) 引力 3、三重积分的计算 (1)利用直角坐标计算 ?“先一后二”法 则 ?“先二后一”法 其中 是竖坐标为 的平面截 闭区域所得到的一个 平面闭区域，则 若 为 在 面上的投影区域 若 (2)利用柱面坐标计算 若 则 (3)利用球面坐标计算 若 则 5、三重积分的解题方法 计算三重积分主要应用直角坐标、柱面坐标和球面坐标 三种坐标计算。 所具有的特点. 积分区域 的投影是圆域， 通常要判别被积函数 和积分区域 则利用球面坐标计算； 如果 被积函数是 ， 则可采用先二后一法计算； 如果 被积函数是 是圆域， 则采用直角坐标计算. 则利用柱面坐标计算； 若以上三种特征都不具备， 注意： 奇(偶)函数的定义域一定是对称区域,但对称区域上有定义的函数并不一定是奇(偶)函数. 因此,计算重积分时,即要善于利用奇(偶)函数在对称 区域上的积分性质;又要防止只注意积分区域的对称性, 6、关于对称性的补充说明 忽视被积函数在积分区域是否为奇(偶)函数. D1 x 重积分中，积分区域对称且被积函数在对称区域上是奇(偶)函数的情形有以下几种： 二、重积分计算的基本方法 1. 选择合适的坐标系 使积分域多为坐标面(线)围成; 被积函数用此坐标表示简洁或变量分离. 2. 选择易计算的积分序 积分域分块要少, 累次积分易算为妙 . 图示法 列不等式法 (从内到外: 面、线、点) 3. 掌握确定积分限的方法 — 累次积分法 练习 P180 2 (3) ; 7 ; 8 (1), (3) 2 (3). 计算二重积分 其中D 为圆周 所围成的闭区域. 提示: 利用极坐标 原式 P180 解答提示: 7. 把积分 化为三次积分, 其中? 由曲面 提示: 积分域为 原式 及平面 所围成的闭区域 . P181 8 (1) .计算积分 其中? 是两个球 ( R 0 )的公共部分. 提示: 由于被积函数缺 x , y , 原式 = 利用“先二后一” 计算方便 . P181 8 (3).计算三重积分 其中? 是由 xOy平面上曲线 所围成的闭区域 . 提示: 利用柱坐标 原式 绕 x 轴旋转而成的曲面与平面 P181 三、重积分计算的基本技巧 分块积分法 利用对称性 1. 交换积分顺序的方法 2. 利用对称性或质心公式简化计算 3. 消去被积函数绝对值符号 练习题 *5. 利用重积分换元公式 P180 1 , 4 , 8 (2), 11 答案提示: (见下页) 4. 利用扩展积分域进行计算 1(1). 设 由 确定 , 由 所确定 , 则 提示: C 右边为正 , 显然不对 , 故选 ( C ) 利用对称性可知 , (A), (B), (D) 左边为 0 , 上半球 第一卦限部分 1(2). 则 提示: 如图 , 由对称性知 在 上是关于 y 的奇函数 在 上是关于 x 的偶函数 A 证明: 提示: 左端积分区域如图, 交换积分顺序即可证得. P181 4. 8(2). 其中? 是 所围成的闭区域 . 提示: 被积函数在对称域 ? 上关于 z 为奇函数 , 利用 对称性可知原式为 0. 由球面 P181 11. 在均匀的半径为R的圆形薄片的直径上 , 要接上一 个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片, 使整个 的另一边长度应为多少? 提示: 建立坐标系如图. 由已知可知 由此解得 问接上去的均匀矩形薄片 即有 薄片的重心恰好落在圆心上 , 例1. 计算二重积分 其中: (1) D为圆域 (2) D由直线 解: (1) 利用对称性. 围成 . (2) 积分域如图: 将D 分为 添加辅助线 利用对称性 , 得 例2. 计算二重积分 其中D 是由曲 所围成的平面域 . 解: 其形心坐标为: 面积为: 积分区域 线 形心坐标 例3. 计算二重积分 在第一象限部分. 解: (1) 两部分, 则 其中D 为