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三重积分习题课 重点：1.计算； 2.应用 上边界曲面（上顶） 下边界曲面（下底） xOy 坐标面上的投影区域 一、利用直角坐标系计算三重积分 “先一后二” （一）先投影，再确定上、下面 c1 c2  . “先二后一” （二）截面法 [c1, c2]:  向 z 轴的投影区间 Dz : 过 z[c1, c2]且垂于z轴 的平面截  得到的截面 M(x, y, z) M(r,, z) z r P(x, y, 0) x y z 柱面坐标 M(x, y, z)  M(r, , z) z = z . .  二、利用柱面坐标计算三重积分  dr r rd d z 底面积 ：r drd 元素区域由六个坐标面围成： 半平面  及+d ; 半径为 r 及 r+dr 的圆柱面； 平面 z及 z+dz； dz dV = . 柱面坐标下的体积元素 . dV M(x, y, z) M(r, , ) r  P y x z . . . 球面坐标  三、利用球面坐标计算三重积分 r   dr d x z y 0 d rd 元素区域由六个坐标面围成： rsind 球面坐标下的体积元素 . 半平面 及+d ； 半径为r及r+dr的球面； 圆锥面及+d r 2 sin drdd dV dV = (一)平面区域的面积 设有平面区域D, (二)体积 设曲面方程为 则D上的曲顶柱体体积为: 则其面积为: 占有空间有界域的立体的体积为: 重积分在几何上的应用 (1) 平面薄片的质心 三、重积分在物理上的应用 (一)质(重)心 (2) 空间物体的重心 重心 (1) 平面薄片的转动惯量 (二) 转动惯量 (2)空间物体的转动惯量 则转动惯量为 设物体占有空间区域V, 体密度为 区域 V 之外有一质量为 m 的质点 A(a, b, c), 求物体 V 对质点 A 的引力. (三) 引力 其中G为万有引力系数， dF的三个坐标分量分别为 于是引力F在三个坐标方向上的分量为 例1 解 利用球面坐标 例题 （画图） 1 化为球系下的方程 r=2 cos . M . r   画图 1 1 Dxy Dxy: x = 0, y = 0, x+2y =1 围成 1 . . . 例2： x + 2y + z =1 Dxy I = 1 1 Dyz . . . 例3： x + y + z =1 I = 解 直接积分困难，考虑改变积分次序 例4 解 例5 解 Dxy a 例6 D S = D : . . . 例6 . . . 例6 解 S = 球面坐标 a . . . 用哪种坐标？ r = a . 例7 解 由积分区域的对称性知 这说明均匀球体对球外一质点的引力相当于 质量集中在球心上, 球心对该质点的引力. 例9 计算极限 其中 具有连续导数, 且 解: 测 验 题