柯西,伯努力.doc

柯西的证明 1821年，法国数学家柯西在他的著作《分析教程》中给出了一个使用逆向归纳法的证明[1]： 命题Pn：对任意的 n 个正实数， 1. 当 n=2 时，P2 显然成立。 2. 假设 Pn 成立，那么 P2n 成立。证明：对于2n 个正实数， 3. 假设Pn成立，那么Pn ? 1成立。证明：对于n - 1 个正实数，设，，那么由于Pn成立， 。 但是 ， ，因此上式正好变成 综合以上三点，就可以得到结论：对任意的自然数 ，命题 Pn 都成立。这是因为由前两条可以得到：对任意的自然数 k，命题 都成立。因此对任意的 ，可以先找 k 使得 ，再结合第三条就可以得到命题 Pn 成立了。 归纳法的证明 使用常规数学归纳法的证明则有乔治·克里斯托（George Chrystal）在其著作《代数论》（algebra）的第二卷中给出的[2]： 由对称性不妨设 xn + 1 是 中最大的，由于 ，设 ，则 ，并且有 。 根据二项式定理， 于是完成了从 n 到 n + 1 的证明。 此外还有更简洁的归纳法证明[3]： 在 n 的情况下有不等式 和 成立，于是： 所以 ，从而有。 极限形式 也称为积分形式：对任意在区间[0,1]上可积的正值函数 f，都有 这实际上是在算术-几何平均值不等式取成 后，将两边的黎曼和中的 n 趋于无穷大后得到的形式。 伯努利不等式 数学中的伯努利不等式是说：对任意整数，和任意实数， ； 如果是偶数，则不等式对任意实数x成立。 可以看到在n = 0,1，或x = 0时等号成立，而对任意正整数和任意实数，，有严格不等式： 。 伯努利不等式经常用作证明其他不等式的关键步骤。 [编辑] 证明和推广 伯努利不等式可以用数学归纳法证明：当n = 0,1，不等式明显成立。假设不等式对正整数n，实数时成立，那么 。 下面是推广到实数幂的版本：如果x ? 1，那么： 若或，有； 若，有。 这不等式可以用导数比较来证明： 当r = 0,1时，等式显然成立。 在上定义f(x) = (1 + x)r ? (1 + rx)，其中， 对x微分得f(x) = r(1 + x)r ? 1 ? r， 则f(x) = 0当且仅当x = 0。分情况讨论： 0 r 1，则对x 0，f(x) 0；对 ? 1 x 0，f(x) 0。因此f(x)在x = 0时取最大值0，故得。 r 0或r 1，则对x 0，f(x) 0；对 ? 1 x 0，f(x) 0。因此f(x)在x = 0时取最小值0，故得。 在这两种情况，等号成立当且仅当x = 0。 [编辑] 相关不等式 下述不等式从另一边估计(1 + x)r：对任意x, r 0，都有 。