- 1、本文档共3页,可阅读全部内容。
- 2、有哪些信誉好的足球投注网站(book118)网站文档一经付费(服务费),不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
- 3、本站所有内容均由合作方或网友上传,本站不对文档的完整性、权威性及其观点立场正确性做任何保证或承诺!文档内容仅供研究参考,付费前请自行鉴别。如您付费,意味着您自己接受本站规则且自行承担风险,本站不退款、不进行额外附加服务;查看《如何避免下载的几个坑》。如果您已付费下载过本站文档,您可以点击 这里二次下载。
- 4、如文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“版权申诉”(推荐),也可以打举报电话:400-050-0827(电话支持时间:9:00-18:30)。
查看更多
柯西,伯努力
柯西的证明
1821年,法国数学家柯西在他的著作《分析教程》中给出了一个使用逆向归纳法的证明[1]:
命题Pn:对任意的 n 个正实数,
1. 当 n=2 时,P2 显然成立。
2. 假设 Pn 成立,那么 P2n 成立。证明:对于2n 个正实数,
3. 假设Pn成立,那么Pn ? 1成立。证明:对于n - 1 个正实数,设,,那么由于Pn成立, 。
但是 , ,因此上式正好变成
综合以上三点,就可以得到结论:对任意的自然数 ,命题 Pn 都成立。这是因为由前两条可以得到:对任意的自然数 k,命题 都成立。因此对任意的 ,可以先找 k 使得 ,再结合第三条就可以得到命题 Pn 成立了。
归纳法的证明
使用常规数学归纳法的证明则有乔治·克里斯托(George Chrystal)在其著作《代数论》(algebra)的第二卷中给出的[2]:
由对称性不妨设 xn + 1 是 中最大的,由于 ,设 ,则 ,并且有 。
根据二项式定理,
于是完成了从 n 到 n + 1 的证明。
此外还有更简洁的归纳法证明[3]:
在 n 的情况下有不等式 和 成立,于是:
所以 ,从而有。
极限形式
也称为积分形式:对任意在区间[0,1]上可积的正值函数 f,都有
这实际上是在算术-几何平均值不等式取成 后,将两边的黎曼和中的 n 趋于无穷大后得到的形式。
伯努利不等式
数学中的伯努利不等式是说:对任意整数,和任意实数,
;
如果是偶数,则不等式对任意实数x成立。
可以看到在n = 0,1,或x = 0时等号成立,而对任意正整数和任意实数,,有严格不等式:
。
伯努利不等式经常用作证明其他不等式的关键步骤。
[编辑] 证明和推广
伯努利不等式可以用数学归纳法证明:当n = 0,1,不等式明显成立。假设不等式对正整数n,实数时成立,那么
。
下面是推广到实数幂的版本:如果x ? 1,那么:
若或,有;
若,有。
这不等式可以用导数比较来证明:
当r = 0,1时,等式显然成立。
在上定义f(x) = (1 + x)r ? (1 + rx),其中, 对x微分得f(x) = r(1 + x)r ? 1 ? r, 则f(x) = 0当且仅当x = 0。分情况讨论:
0 r 1,则对x 0,f(x) 0;对 ? 1 x 0,f(x) 0。因此f(x)在x = 0时取最大值0,故得。
r 0或r 1,则对x 0,f(x) 0;对 ? 1 x 0,f(x) 0。因此f(x)在x = 0时取最小值0,故得。
在这两种情况,等号成立当且仅当x = 0。
[编辑] 相关不等式
下述不等式从另一边估计(1 + x)r:对任意x, r 0,都有
。
您可能关注的文档
- 浅谈小学科学教学之——实验教学.doc
- 检验验证型课例运用 Microsoft Word 文档.doc
- 机械振动机械波例题解析88.doc
- 《电磁场与电磁波》经典例题.doc
- 欲破三农 我为家乡献计.doc
- 瑞格尔健康管理中心的招聘信息.doc
- 决胜终端—内衣促销的方式和种类.doc
- 内衣促销如何做.doc
- 家长代表讲话.doc
- 语文:第6课《徐悲鸿励志学画》教案第二课时(苏教版四年级上).doc
- 2023-2024学年广东省深圳市龙岗区高二(上)期末物理试卷(含答案).pdf
- 2023-2024学年贵州省贵阳市普通中学高一(下)期末物理试卷(含答案).pdf
- 21.《大自然的声音》课件(共45张PPT).pptx
- 2023年江西省吉安市吉安县小升初数学试卷(含答案).pdf
- 2024-2025学年广东省清远市九校联考高一(上)期中物理试卷(含答案).pdf
- 广东省珠海市六校联考2024-2025学年高二上学期11月期中考试语文试题.pdf
- 2024-2025学年语文六年级上册第4单元-单元素养测试(含答案).pdf
- 2024-2025学年重庆八中高三(上)月考物理试卷(10月份)(含答案).pdf
- 安徽省安庆市潜山市北片学校联考2024-2025学年七年级上学期期中生物学试题(含答案).pdf
- 贵州省部分校2024-2025学年九年级上学期期中联考数学试题(含答案).pdf
文档评论(0)