柯西,伯努力.doc

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柯西,伯努力

柯西的证明 1821年,法国数学家柯西在他的著作《分析教程》中给出了一个使用逆向归纳法的证明[1]: 命题Pn:对任意的 n 个正实数, 1. 当 n=2 时,P2 显然成立。 2. 假设 Pn 成立,那么 P2n 成立。证明:对于2n 个正实数, 3. 假设Pn成立,那么Pn ? 1成立。证明:对于n - 1 个正实数,设,,那么由于Pn成立, 。 但是 , ,因此上式正好变成 综合以上三点,就可以得到结论:对任意的自然数 ,命题 Pn 都成立。这是因为由前两条可以得到:对任意的自然数 k,命题 都成立。因此对任意的 ,可以先找 k 使得 ,再结合第三条就可以得到命题 Pn 成立了。 归纳法的证明 使用常规数学归纳法的证明则有乔治·克里斯托(George Chrystal)在其著作《代数论》(algebra)的第二卷中给出的[2]: 由对称性不妨设 xn + 1 是 中最大的,由于 ,设 ,则 ,并且有 。 根据二项式定理, 于是完成了从 n 到 n + 1 的证明。 此外还有更简洁的归纳法证明[3]: 在 n 的情况下有不等式 和 成立,于是: 所以 ,从而有。 极限形式 也称为积分形式:对任意在区间[0,1]上可积的正值函数 f,都有 这实际上是在算术-几何平均值不等式取成 后,将两边的黎曼和中的 n 趋于无穷大后得到的形式。 伯努利不等式 数学中的伯努利不等式是说:对任意整数,和任意实数, ; 如果是偶数,则不等式对任意实数x成立。 可以看到在n = 0,1,或x = 0时等号成立,而对任意正整数和任意实数,,有严格不等式: 。 伯努利不等式经常用作证明其他不等式的关键步骤。 [编辑] 证明和推广 伯努利不等式可以用数学归纳法证明:当n = 0,1,不等式明显成立。假设不等式对正整数n,实数时成立,那么 。 下面是推广到实数幂的版本:如果x ? 1,那么: 若或,有; 若,有。 这不等式可以用导数比较来证明: 当r = 0,1时,等式显然成立。 在上定义f(x) = (1 + x)r ? (1 + rx),其中, 对x微分得f(x) = r(1 + x)r ? 1 ? r, 则f(x) = 0当且仅当x = 0。分情况讨论: 0 r 1,则对x 0,f(x) 0;对 ? 1 x 0,f(x) 0。因此f(x)在x = 0时取最大值0,故得。 r 0或r 1,则对x 0,f(x) 0;对 ? 1 x 0,f(x) 0。因此f(x)在x = 0时取最小值0,故得。 在这两种情况,等号成立当且仅当x = 0。 [编辑] 相关不等式 下述不等式从另一边估计(1 + x)r:对任意x, r 0,都有 。

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