数学 解答排列组合问题.doc

解答排列组合问题，首先必须认真审题，明确是属于排列问题还是组合问题，或者属于排列与组合的混合问题，其次要抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析，同时还要注意讲究一些策略和方法技巧。下面介绍几种常用的解题方法和策略。 一、合理分类与准确分步法(利用计数原理) ???解含有约束条件的排列组合问题，应按元素性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，保证每步独立，达到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。 例1?、五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有??(???） A．120种??????B．96种????C．78种????D．72种? 分析：由题意可先安排甲，并按其分类讨论：1）若甲在末尾，剩下四人可自由排，有种排法；2）若甲在第二，三，四位上，则有?种排法，由分类计数原理，排法共有?种，选C。 解排列与组合并存的问题时，一般采用先选（组合）后排（排列）的方法解答。 例?2、?4个不同小球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，恰有一空盒的方法有多少种？ 分析：??因恰有一空盒，故必有一盒子放两球。1）选：从四个球中选2个有?种，从4个盒中选3个盒有?种；2）排：把选出的2个球看作一个元素与其余2球共3个元素，对选出的3盒作全排列有?种，故所求放法有?种。 二、特殊元素与特殊位置优待法 对于有附加条件的排列组合问题，一般采用：先考虑满足特殊的元素和位置，再考虑其它元素和位置。 例3、?用0，2，3，4，5，五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（?）。 A． 24个??B。30个??C。40个??D。60个 [分析]由于该三位数为偶数，故末尾数字必为偶数，又因为0不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，应该优先安排，按0排在末尾和0不排在末尾分两类：1）0排末尾时，有?个，2）0不排在末尾时，则有?个，由分数计数原理，共有偶数?=30个，选B。 例4、?马路上有8只路灯，为节约用电又不影响正常的照明，可把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，也不能关掉两端的灯，那么满足条件的关灯方法共有多少种？ 分析：表面上看关掉第1只灯的方法有6种，关第二只，第三只时需分类讨论，十分复杂。若从反面入手考虑，每一种关灯的方法对应着一种满足题设条件的亮灯与关灯的排列，于是问题转化为“在5只亮灯的4个空中插入3只暗灯”的问题。故关灯方法种数为?。 三、插空法、捆绑法 对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端空隙中插入即可。 例5、7人站成一排照相，?若要求甲、乙、丙不相邻，则有多少种不同的排法？ 分析：?先将其余四人排好有?种排法，再在这人之间及两端的5个“空”中选三个位置让甲乙丙插入，则有?种方法，这样共有?种不同排法。 对于局部“小整体”的排列问题，可先将局部元素捆绑在一起看作一个元，与其余元素一同排列，然后在进行局部排列。 例6、?7人站成一排照相，甲、乙、丙三人相邻，有多少种不同排法？ 分析：?把甲、乙、丙三人看作一个“元”，与其余4人共5个元作全排列，有?种排法，而甲乙、丙、之间又有?种排法，故共有??种排法。 四、排除法 对于含有否定字眼的问题，可以从总体中把不符合要求的除去，此时需注意不能多减，也不能少减。 例如在例3中，也可用此法解答：五个数字组成三位数的全排列有?个，排好后发现0不能排首位，而且数字3，5也不能排末位，这两种排法要除去，故有?个偶数。 五、顺序固定问题用“除法”(?对等法?) 对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同排列，然后用总排列数除以这几个元素的全排列数。 例7、??6个人排队，甲、乙、丙三人按“甲---乙---丙”顺序排的排队方法有多少种？ 分析：??不考虑附加条件，排队方法有?种，而其中甲、乙、丙的?种排法中只有一种符合条件。故符合条件的排法有?种。 六、构造模型?“挡板法” 对于较复杂的排列问题，可通过设计另一情景，构造一个隔板模型来解决问题。 例8、??方程a+b+c+d=12有多少组正整数解？ 分析：建立隔板模型：将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个间隙中任意插入3块隔板，把球分成4堆，每一种分法所得4堆球的各堆球的数目，对应为a、b、c、d的一组正整解，故原方程的正整数解的组数共有?。 ?例9、把10本相同的书发给编号为1、2、3的三个学生阅览室，每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数，试求不同分法的种数？ 解：先让2、3号阅览室依次分得1本书、2本书；再对余下的7本书进行分配，保证每个阅览室至少得一本书，这相当于在7本相同书之间的6个“空档”内插入2块隔板共有?C62种插法，即有15种分法。