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第7章 图09

第七章 图 7.1 图的概念 7.1.1 图的定义 图(Graph)——图G是由两个集合V和组成E`的,记为G=(V,E) 其中:V是顶点的非空有限集 E是边的有限集合,边是顶点的无序对或有序对(序偶) 有向图——有向图G是由两个集合V和E组成的 其中:V是顶点的非空有限集 E是有向边的有限集合,有向边是顶点的有序对,记为 v,w,v,w是顶点,v为起点,w为终点 无向图——无向图G是由两个集合V和E组成的 其中:V是顶点的非空有限集 E是边的有限集合,边是顶点的无序对,记为(v,w)或 (w,v),并且(v,w)=(w,v) 7.1.2 图的基本术语 1、邻接点 2、顶点的度 图的顶点的度数之和与边数有什么关系? 3、有向完全图:每两个顶点间都有方向相反的两条边。 n个顶点的有向完全图边数为n(n-1)。 无向完全图:每两个顶点间都有边。 n个顶点的无向完全图边数为n(n-1)/2 。 4、子图:如果图G(V,E)和图G‘(V’,E‘),满足: V’?V E’?E E’中的顶点都在V’中 则称G‘为G的子图 5、简单路径和回路 简单路径:一条路径上所有顶点均不同。 回路:一条路径前后两个端点相同。 简单回路:只有前后两个端点相同。 7.1.3 图的ADT 主要操作: 1、遍历 2、最小生成树 3、最短路径 4、拓扑序列 5、关键路径 7.2 图的存储结构 本节主要介绍和比较邻接矩阵、链接表和边集数组。 邻接矩阵——表示顶点间的关系的矩阵 定义:设G=(V,E)是有n?1个顶点的图,G的邻接矩阵A是具有以下性质的n阶方阵 特点: 无向图的邻接矩阵对称,可压缩存储;有n个顶点的无向图需存储空间为n(n+1)/2 有向图邻接矩阵不一定对称;有n个顶点的有向图需存储空间为n2 无向图中顶点Vi的度D(Vi)是邻接矩阵A中第i行元素之和 有向图中, 顶点Vi的出度是A中第i行元素之和 顶点Vi的入度是A中第i列元素之和 邻接矩阵特点 1、查找一条边的时间复杂度是0(1) 2、计算一个顶点的度的时间复杂度为0(n) 3、查找顶点v的一个邻接点w的时间复杂度0(n) 4、空间复杂度为0(n2) 5、适用于稠密矩阵 邻接表 实现:为图中每个顶点建立一个单链表,第i个单链表中的结点表示顶点Vi的(出边)邻接点。 特点 无向图中顶点Vi的度为第i个单链表中的结点数 有向图中 顶点Vi的出度为第i个单链表中的结点个数 顶点Vi的入度为整个邻接表中邻接点域值是i的结点个数 逆邻接表:有向图中对每个结点建立单链表,存储入边信息。 有向图的十字链表表示法 7.2.3 边集数组 利用一维数组存储图的边。 数组元素类型: struct edge{ Int fromvex; Int endvex; WeightType weight; } typedef edge edgeset[MaxEdgeNum]; 边集数组特点 1、查找边的时间复杂度? 2、计算顶点的度的时间复杂度? 3、空间复杂度为? 4、适合表示??矩阵 7.3 图的遍历 深度优先遍历(DFS) 方法:从图的某一顶点V1出发,访问此顶点;然后从V1的一个未被访问的邻接点出发,深度优先遍历图,直至图中所有和V1相通的顶点都被访问到;若此时图中尚有顶点未被访问,则另选图中一个未被访问的顶点作起点,重复上述过程,直至图中所有顶点都被访问为止。 DFS算法分析 1、邻接矩阵(唯一) DFS得到的顶点序列也是唯一的。 例如:图7-10中以1点为起点的DFS。 DFS:1,0,2,6,3,4,5 分析:时间复杂度为0(n2),空间复杂度为0(n2) 2、邻接表(不唯一) DFS得到的顶点序列也是不唯一的。 若邻接表确定,DFS的顶点序列也是唯一的。 例如:图7-10中以1点为起点的DFS。若采用图7-11的邻接表。 DFS:1,6,2,0,3,5,4 分析:时间复杂度O(e),空间复杂度O(e) BFS算法分析 1、邻接矩阵(唯一) BFS得到的顶点序列也是唯一的。 例如:图7-10中以1点为起点的BFS。 BFS:1,0,4,5,6,2,3 队列:1 0,4,5,6 4,5,6,2,3 5,6,2,3 6,2,3 2,3 3 2、邻接表(不唯一) BFS得到的顶

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