高等数学下册同济六版第8章-3.ppt

* 思考题 【更多精品】狂点? 感谢阅读 * * * 定义 空间直线可看成两平面的交线． 空间直线的一般方程 一、空间直线的一般方程 §6. 空间直线及其方程 （注：两平面不平行） * 方向向量的定义： 如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为这条直线的方向向量． // 二、空间直线的对称式方程 直线的对称式方程 （点向式方程） * * 因此,所求直线方程为 例1 求过点(1,0,-2)且与平面3x+4y-z+6=0平行,又与直 线 垂直的直线方程. 解: 设所求线的方向向量为 已知平面的法向量 已知直线的方向向量 取 * 三、空间直线的参数式方程 直线的一组方向数 令 方向向量的余弦称为直线的方向余弦. 直线的参数方程 由直线的对称式方程 * 例2 用对称式方程及参数方程表示直线 解 在直线上任取一点 取 解得 点坐标 * 因所求直线与两平面的法向量都垂直 取 对称式方程 得参数方程 令 * 解 所以交点为 取 所求直线方程 * 解 设所求直线的方向向量为 根据题意知 取 所求直线的方程 * 定义 直线 直线 两直线的方向向量的夹角称之为该两直线的夹角.（锐角） 两直线的夹角公式 四、两直线的夹角 * 两直线的位置关系： 直线 直线 例如， * 五、直线与平面的交点 * 例5. 求直线 与平面 的交点 . 提示: 化直线方程为参数方程 代入平面方程得 从而确定交点为（1，2，2）. * 解 先作一过点M且与已知 直线垂直的平面 再求已知直线与该平面的交点N, 令 M N L * 代入平面方程得 , 交点 取所求直线的方向向量为 所求直线方程为 * 例7 求过点 M (-1,2,-3), 且平行于平面 又与直线 相交的直线方程. 解 过M作平行于平面 P 的一个平面P1 L P1 M1 P M P1: 即P1: 求平面 P1与已知直线 L的交点 * * 定义 直线和它在平面上的投影直线的夹角 称为直线与平面的夹角． 六、直线与平面的夹角 * 直线与平面的夹角公式 直线与平面的位置关系： // * 解 为所求夹角． * 七、平面束 通过定直线 L的所有平面的集合称为该直线 L 的平面束. 解: 构造平面族: （t为任意实数） A1 x+B1 y+C1 z+D1+ t(A2 x+B2 y+C2 z+D2 )=0 即 (A1 +t A2 )x+(B1 + t B2 )y+(C1 + t C2 )z+(D1 + t D2 )=0 (*) L 设直线 L的一般方程为: A1 x+B1 y+C1 z+D1 =0 A2 x+B2 y+C2 z+D2 =0 求L的平面束方程. * 注: 在求过已知直线且垂直于已知平面的平面 方程时,用平面束方程比较方便. 事实上 设 为L外任一点，可取 则M0满足(*). 因此, (*)是L的平面束方程. ( 除外) 则 1. (*)式为过直线L的平面方程. 2. 过L的任何平面( ∏2除外)都包含在(*)所 表示的平面族内. * 例9 求过直线L 和点M0(1,2,3)的平面?方程. 解 设?的方程为： (*) * 解: 显然, L是过L1且垂直于? 的平面?1与?的交线.故先求?1. 设过直线L1的平面束方程为: 例10 求直线 在平面 内的投影直线L的方程. 则 ?1的法向量 又?的法向量 L1 L ? ?1 * 即: 解得 于是投影平面?1： 投影直线L的方程为: * 解法二：先求?1的方程 则?1： 在L1上任取一点(3,0,-6), 例10 求直线 在平面 内的投影直线L的方程. L1 L ? ?1 * 八、点到直线的距离 L d P1 是L外一点, 设直线L, 求P0到L的距离d . 设 为L上任一点，如图 S S 又 于是 点到直线的距离公式 * 例11 求点(5,4,2)到直线 的距离d. 解 * 空间直线的一般方程. 空间直线的对称式方程与参数方程. 两直线的夹角.