吕林根解析几何（第四版）（完整课件）1.9.ppt

第一章 向量与坐标 §1.1 向量的概念 §1.2 向量的加法 §1.3 数量乘向量 §1.4 向量的线性 关系与分解 §1.5 标架与坐标 §1.6 向量在轴上的射影 §1.7 两向量的数量积 §1.8 两向量的向量积 §1.9 三向量的混合积 §1.10 三向量的双重向量积 §1.9 三向量的混合积 定义1.9.1 给定空间的三个向量 ,如果先作前两个向量 的向量积,再作所得向量与第三个向量 的数量积, 最后得到的这个数叫做三向量的混合积,记做 或 或 . 注: 混合积的性质 定理1.9.1 三个不共面的向量 的混合积的绝对值等于以 为棱的平行六面体的体积 ,并且当 构成右手系时混合积是正数;当 构成左手系时,混合积是负数,也就是有 .当 是右手系时 ;当是 左手系时 . 证明: 由于 不共面, 将其归结到共同始点 ,以 为棱作平行六面体, 则以 为边的平行四边形 的面积 ,高 ,则 . 由于 其中 . 当 成右手系时, ,所以. 当 成左手系时, ,这时 所以 定理1.9.2 共面 证明: 当 共线,即 或 时,结论显然成立.下证非上述情况也成立. 若 共面,由 ,得 若 ,则 .又 , ,所以 共面. 定理1.9.3 轮换混合积的三个因子,并不改变它的值, 对调任何两个因子经改变积的符号,即 证明:当共面时,结论显然成立. 当不共面时,轮换或对调因子,混合积的绝对值都等于以为棱的平行六面体的体积. 当轮换时,不会把右手系变为左手系,也不会把左手系变为右手系,因而混合积不变;当对调任意两因子的位置时,将右手系变为左手系或将左手系变为右手系,所以混合积要改变符号. 推论 证: 例1 设 满足 ,试证 共面. 证明:由 ,得 即 而 所以 , 所以 共面. 混合积的坐标运算 定理1.9.4 若 ,则 证明: 由定理1.8.6有 注: 由定理1.9.2,即得 共面 此即为定理1.5.5结论. 例2 已知四面体 的顶点坐标 ,求它的体积. 解: 由初等几何可知, 四面体 的体积 等于以 为棱的平行六面体的体积的 ,则 而 , 则 从而 例3 设 不共面,求 对 的分解式. 解: 因为 不共面,由定理1.4.3有 上式两边与 作数量积,则有 而 ,则 .又 不 共面,则 . 所以有 同理有 注: 这是克莱姆法则的几何表示.