求解函数最值时应该注意的问题.doc

求解函数最值时应注意的问题 在求解函数最值有一些需要注意的问题，例如：应该注意函数定义域，值域，注意参变数的约束条件，在使用不等式法时也有一些问题需要注意． 1注意定义域 求解函数最值题时，在计算过程中要注意观察定义域有无改变，在解题之初，首先要确定函数的定义域，在解题过程中，变形时要看定义域是否改变，在引进新变量时要明确新变量的取值范围，如：在使用换元法求函数最值时，要确定新变量的取值范围．在解题结束时，要检验所求得的使函数取得最值时相应的自变量是否在定义域内． 例1.1求函数=的最值 错解 将=两边平方并去分母，得 因 所以 =化简，得 所以 ， 故，． 分析 这个答案致错原因是两边平方及去分母，扩大了函数的定义域，原函数的定义域为, 变形后为，当时，无解， 所以不能等于． 由 ，可以判断，所以的最大值为， 当时取到; 当时，． 所以的最大值为，最小值为． 2注意值域 求函数的最值，不但要对几种基本初等函数的值域要非常熟悉，而且在解题过程中还要注意函数取值范围的变化． 例2.2求 的最值． 错解 原式变形为, 因为， 所以 解之得 ,所以 分析 把代入得，因为这个方程无解,　故不在函数的值域内,事实上,由数形结合可把原问题转化为求斜率的最大、最小值，这是非常简便的． 如图6所示： 原题是求过点与 上的点的直线的斜率的最大值与最小值，由图可知, 所以, 故只有最小值,无最大值． 由此可以看出用判别式法求最值有可能扩大的取值范围． 3注意参变数的约束条件 有一类的最值问题，在题设函数里有参变数，在计算过正中，当问题转化为参数的二次函数时，如不考虑参变数的约束条件，易误入一般的情况求函数最值的方法代替求函数在特定区间最值的歧途． 例3.3设, , , 求的最值． 错解 由题设知, , 上式分别平方得, 则 ,所以, ． 分析 根据约束条件, , 要使,只有，且,而它们又不满足, 因此不是的最小值, 类似可以推出 也不是的最大值, 错误出现在上面不等式的变形不是同解变形,可以由数形结合法来求此函数的最值． 如图7所示：可知满足的点在直线上，根据题意，求 的最值就求原点到线段上点的距离的平方的最值，可求点的坐标为 ，点的坐标为 ，易判断原点到直线的距离的垂足不在线段上，所以和分别为的最小值和最大值，即 ， ． 4注意基本不等式的使用 运用不等式求解函数最值时要注意等号成立的条件，也要注意不等式是否有意义． 例4.4已知, ++,求的最小值．并求当取得最小值时相应的的值． 错解 因为,所以++, ++0, 从而, , 当且仅当 时等号成立, 有最小值． 分析 上面解法错误,是对重要不等式成立的条件没有理解而生搬硬套的结果,事实上,当时, 不等于．正确的解法是 即++中,等号当且仅当时即, , 时, 有最小值． (-1,2) y x o y=x 1 -1 -2 2 2 1 图6 图7