(工程数学第5讲.逆矩阵)教程教案.ppt

解 定理 可逆矩阵可以经过若干次初等行变换化为 单位矩阵. 证 n阶可逆矩阵 的行列式|A|?0, 所以它的第一列元素不全为零. 不妨假设a11?0(如a11=0, 必存在ai1?0, 此时先把第1行与第i行交换), 先将第一行乘1/a11, 再将变换后的第一行乘(-ai1)加至第i行(i=2,3,...,n)得 * * 2.3矩阵的初等变换与初等矩阵 用高斯消元法解线性方程组, 其消元步骤是 对增广矩阵做三类行变换:(i) 以非零常数c乘矩阵的某一行;(ii) 将矩阵的某一行乘以常数c并加到另一行;(iii) 将矩阵的某两行对换位置.这三类行变换统称为矩阵的初等行变换, (i)称 为倍乘变换, (ii)称为倍加变换, (iii)称为对换变 换.在矩阵的其他一些问题里(如展开方阵的行列 式), 也要对矩阵作上述三类初等列变换, 初等行, 列变换统称为初等变换. 定义 2.3.1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换: (1) 对调两行(对调第i行和第j行,记作 ). (2) 用非零数k乘以某一行的全部元素(第i行乘k,记作 ). （3）把某一行的k倍加到另一行的对应的元素上(第j行的k倍加到第i行上,记作 ). 同样可定义矩阵的初等列变换. 初等行变换和初等列变换统称为初等变换. 定义2.3.2 如果矩阵A经过有限次初等行变换 变成矩阵B,就称矩阵A与B等价,记作A～B. 矩阵的等价关系满足下列三个性质: (1) 自反性 A ～A ; (2) 对称性 若A～B, 则B～A ; (3) 传递性 若A～B, B～C; 则A～C . 两个等价矩阵所对应的两个方程组有相同 的解. 初等变换在矩阵的理论中具有十分重要作 用. 矩阵的初等变换不只是可用语言表达, 而 且可用矩阵的乘法运算来表示, 为此要引入初 等矩阵的概念.定义 2.3.3 将单位矩阵作一次初等变换所得 的矩阵称为初等矩阵. 对应于三类初等行, 列变换, 有三种类型的 初等矩阵: (i) 初等对换矩阵 Eij是由单位矩阵第i,j行(或列)对换而得到的. (ii) 初等倍乘矩阵 Ei(c)是由单位矩阵第i行(或列)乘c(c?0)得到. (iii) 初等倍加矩阵 Eij(c)是由单位矩阵第i行乘c加到第j行而得 到的, 或由第j列乘c加到第i列而得到. 由例1可见, 初等矩阵左乘A(右乘B)的结果是 对A(B)作初等行(列)变换, 而且, 如果初等矩 阵是由单位矩阵作某种行(列)变换所得, 那末 它在左乘A(右乘B)也是对A(B)作该种行(列)初 等变换. 不难证明下面的一般结论:Ei(c)A 表示A的第i行乘c;Eij(c)A 表示A的第i行乘c加至第j行;EijA 表示A的第i行与第j行对换位置;BEi(c) 表示B的第i列乘c;BEij(c) 表示B的第j列乘c加至第i列;BEij 表示B的第i列与第j列对换位置. 2.4逆矩阵 矩阵运算中定义了加法和负矩阵, 就可以定义矩阵的减法. 那么定义了矩阵的乘法, 是否可以定义矩阵的除法呢? 由于矩阵乘法不满足交换律, 因此我们不能一般地定义矩阵的除法. 在数的运算中, 当数a?0时, aa-1=a-1a=1, 这里a-1=1/a称为a的倒数, (或称a的逆); 在矩阵乘法运算中, 单位矩阵I相当于数的乘法中的1, 则对于一个矩阵A, 是否存在一个矩阵A-1, 使得AA-1=A-1A=I呢? 如果存在这样的矩阵A-1, 就称A是可逆矩阵, 并称A-1是A的逆矩阵. 定义1 对于矩阵A, 如果存在一个矩阵B, 使得 AB=BA=I, (2.22)就称A为可逆矩阵, (简称A可逆), 并称B是A的逆矩阵, 记作A-1, 即A-1=B. 由定义可知, 可逆矩阵及其逆矩阵是同阶方阵. 由于(2.22)式中, A与B的地位是平等的, 所以也可称A是B的逆矩阵. 定理1 若A是可逆矩阵, 则A的逆矩阵是唯一的.证 设B和C都是A的逆矩阵, 则由 AB=BA=I, AC=CA=I,可得 B=IB=(CA)B=C(AB)=CI=C,故A的逆矩阵是唯一的. 下面讨论矩阵A可逆的充分必要条件.如果A可逆, 其逆为B, 则|A||B|=|AB|=|I|=1, 必有|A|?0, 因此, |A|?0是A可逆的必要条件.  下面要证明|A|?0也是A可逆的充分条件.