02南航戴华《矩阵论》第二章节线线性映射与性变换.ppt

;教学目的; 在讨论线性空间的同构时，我们考虑的是一种;线性变换是线性空间的核心内容，反映的是线性空间中元素间的一种基本联系，体现出一种“动态的”或者“直观的”视角。;;; (4)如果?1,?2,…?m 是V1的线性相关组，则 D (?1),D (?2),…D (?n)是V2的一组线性相关向量； 并且当且仅当D 是一一映射时，V1中的线性无关组的像是V2中的线性无关组.;;;;;注3 矩阵和线性映射互相唯一确定；在给定基的情况下，线性空间V1到V2的线性映射L与m?n矩阵一一对应，且这种对应保持加法和数乘两种运算。;;解 在R[x]n中取基?1=1， ?2=x, … ?n=xn-1 ,在R[x]n-1中取基?1=1， ? 2=x, … ? n-1=xn-2，则;D (? 1, ? 2 ,…? n)=(?1,? 2 … ? n-1);另：若在R[x]n-1中取基?1=1， ? 2=2x, … ? n-1=(n-1)xn-2;;;;;;线性变换的基本性质; L (V,V )表示线性空间V 上的所有线性变换的集合，对任意的T,T1,T2∈L (V,V ),? ∈V,定义;特殊的变换：对任意的k∈P定义数乘变换K（x）=kx，恒等变换：I（x）=x，零变换：O (x)=0;;;例2.3.1 设线性空间　 的线性变换　为 ;;;例2.3.2 在线性空间 　中，线性变换　定义如下：　;设 在标准基　　 下的矩阵为A，即;因而，; 设　在 　　　下的矩阵为B，则;定义2.3.3 设D 是数域 P上的线性空间 上的线性变换 。令;定理2.3.2 设D 是数域 P上的线性空间V上的线性变换 。令D 在V的一组基?1,?2,…?n下的矩阵表示为A，则 （1）Im(D )和Ker(D )都是V的子空间； （2）Im(D )=span(D (?1),D (?2),…D (?n)) （3）rank(D )=rank(A) （4）dim(Im(D ))+dim(Ker(D ))=n;证明（1）显然R(D )是V的非空子集，对任意D(?),D(?)? R(D )，k?P 有 D(?)+D(?)=D(?+?)? R(D ) kD(?)=D(k?)? R(D ) 所以R(D )是V的子空间 又D(0)=0,所以Ker(D )是V的非空子集,对任意?,?? Ker(D )，k?P D(?+?)=D(?)+D(?)=0?Ker(D ) D(k?)=kD(?)=0?Ker(D ) 所以Ker(D )是V的子空间 ;如果D (?r+1),…D(?n)是线性无关的，则有dim(Im(D ))=n-r;因为 线性无关，所以 ki=0(i=1,2…n),所以D(ar+1),…D(an)线性无关。;注意;例2.3.3 设线性变换 T 在4维线性空间 的基 下的矩阵为;（2）求 Im(T ) 的一组基;;解;则 的基为;（2）由于;;; 例2.4.1 设线性变换A 在基 下的矩阵是 求A 的全部特征值与特征向量。 解：求A 的特征值等价于求对应矩阵的特征值和特征向量。; 所以A的特征值是 3 (二重)与 -6。 对于特征值 3，解齐次线性方程组 得到一个基础解系： ;从而 A 的属于 3 的极大线性无关特征向量组是 于是A 属于 3的全部特征向量是 这里 k1k2≠0 。 对于特征值 -6，解齐次线性方程组 得到一个基础解系：;从而 A 的属于 -6 的极大线性无关特征向量组是 于是 A 的属于 -6 的全部特征向量 这里 k 为数域 F 中任意非零数。 ;;;称 矩阵 为多项式 的友矩阵，这里;解 记;接下来考虑线性变换在不同基下的矩阵特征值的关系：;;;;;;;;例 2.5.1 在多项式空间 P[t]3 中，设 f(t)=a1+a2t+a3t2 定义线性变换 T[f(t)]=(a2+a3) +(a1+a3)t+ +(a1+a2) t2 ;解：;属于2的特征向量为p1=(1，1，1)T 属于-1的两个线性无关的特征向量为 p2=(-1，1，0)T p3=(1，0，-1)T,所以; 因此所求基为;;;