04.矩阵理论与方法_矩阵分析及其相关应用.ppt

* * * * * * * * * 函数对矩阵的导数 定义：设矩阵 ， 元函数 ，定义 对矩阵 的导数为 例：设 ， ， 元函数 ，求 例：设 ，一元函数 ，求 * 函数矩阵对矩阵的导数 定义：设矩阵 ，定义 元函数矩阵 其中 ， 则对矩阵 的导数为 ，其中 。 * 函数矩阵对矩阵的导数 例：设 ， 元函数 ，求 这个矩阵被称为 元函数的Hessian矩阵。 * 函数矩阵对矩阵的导数 例：设 ， 元函数 ，令 求 例：设 是向量 的函数，而 ， ，证明 * 一阶线性常系数齐次微分方程组 一阶线性常系数齐次微分方程组形式为 其中 为自变量， 为 的函数， ，令 则方程组的矩阵形式为 * 一阶线性常系数齐次微分方程组 假设方程组满足初始条件 ，其中 。 将 展开成幂级数 则有 又因为 所以 得 * 一阶线性常系数齐次微分方程组 定理：满足初始条件 的一阶线性常系数齐次微分方程组 ，有且仅有唯一解 。 其中 ， ， 。 定义：记集合 ，则集合 为线性空间，即为方程组的解空间。 因为 可逆，所以以矩阵 的列构成的列向量 线性无关，则它们构成解空间的基，称为微分方程组 的基础解系，并且称 为方程组的一般解（通解）。 * 一阶线性常系数齐次微分方程组 例：设 ，求微分方程组 的基础解系以及满足初试条件 的解。 * 一阶线性常系数非齐次微分方程组 设一阶线性常系数非齐次微分方程组 其中 ， 是关于 的已知函数。 方程组的矩阵形式 其中 ， ， 。 * 一阶线性常系数非齐次微分方程组 解的基本形式（通解+特解） 设方程组的一个特解 ，而 是方程组的一般解。则有 即方程组的通解为齐次方程组 的通解加特解的形式 特解的求法（常向量变易法） 令 ，代入方程组 解得 所以方程的特解为 。 * 一阶线性常系数非齐次微分方程组 非齐次微分方程组的一般解 满足初始条件 的解为 例：设矩阵 ， , ,求微分方程组 满足初始条件 的解。 练习 P163 1、2、5、6 P170 4、5、6 P177 2、3、4 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn * 矩阵理论与方法 第3章 矩阵分析及其应用 庄 伯 金 Bjzhuang@bupt.edu.cn * 主要内容 矩阵序列与级数 矩阵序列的基本概念与性质 矩阵级数的概念与性质 矩阵函数 矩阵函数的概念和性质 矩阵函数的求法 矩阵函数的另外定义 矩阵微分与积分 矩阵函数的应用 一阶线性常系数齐次微分方程组 一阶线性常系数非齐次微分方程组 * 矩阵序列的收敛性 矩阵序列的收敛性概念与向量序列的收敛性概念一致。 定义：设有矩阵序列 ，其中 ，当 时，