1 线性代数,群论讲解材料.ppt

其中： 矩阵的乘法 若 A =（ aik ）是 m×n 阶矩阵，B =（ bkj ）是 n×p 阶矩阵，则定义矩阵 A、B 的积（记做 A·B 或 AB）是矩阵 C =（ cij ）。C 是一个 m×p 阶矩阵。 注意：只有当矩阵 A 的列数与矩阵 B 的行数相同，矩阵的积 AB 才有定义！ 其中： 矩阵的乘法 若 A =（ aik ）是 m×n 阶矩阵，B =（ bkj ）是 n×p 阶矩阵，则定义矩阵 A、B 的积（记做 A·B 或 AB）是矩阵 C =（ cij ）。C 是一个 m×p 阶矩阵。 例 1： 例 2：试求矩阵 与 的乘积。 例 2：试求矩阵 与 的乘积。 一般说来，矩阵乘法不满足交换律，即 AB ≠ BA。但满足结合律，即 ABC = (AB)C = A(BC)。 矩阵的初等行运算 对矩阵可实施的初等行运算为：1）用常数乘行；2）两行相加；3）交换两行。 可用初等行运算彼此变换的矩阵，称为行等价矩阵。 矩阵的初等行运算 对矩阵可实施的初等行运算为：1）用常数乘行；2）两行相加；3）交换两行。 可用初等行运算彼此变换的矩阵，称为行等价矩阵。 如果一矩阵其对角线左下方的矩阵元皆为零，则该矩阵称为三角矩阵。如： 如果以向量的分量为行形成的矩阵，经过初等行运算，可化为非全为零的行的三角矩阵，则此向量组是线性无关的。 如果以向量的分量为行形成的矩阵，经过初等行运算，可化为非全为零的行的三角矩阵，则此向量组是线性无关的。 Exercise：向量组 ( 1, -1, 3 )，( 2, -4, 1 )，( 0, 3, 2 ) 是线性无关的吗？ 如果以向量的分量为行形成的矩阵，经过初等行运算，可化为非全为零的行的三角矩阵，则此向量组是线性无关的。 Exercise：向量组 ( 1, -1, 3 )，( 2, -4, 1 )，( 0, 3, 2 ) 是线性无关的吗？ 向量组 ( 1, 0, 0 )，( 0, 1, 0 )，( 1, 1, 0 ) 呢？ 特殊矩阵 零矩阵：所有矩阵元均为零的矩阵。 特殊矩阵 零矩阵：所有矩阵元均为零的矩阵。 单位矩阵 I 或恒等矩阵 E ：对角元为 1，其余均为零的方阵： 常数矩阵 C ：对角元为一常数，其余均为零的方阵。 对角矩阵：除对角元外均为零的方阵。 方块矩阵： 逆矩阵 如果一个方阵 A 的行列式不等于零，该方阵 A 可以有逆矩阵，记为 A-1 ，且满足： AA-1 = A-1A = I ( E ) 。 因为： (AB )(AB)-1 = E ，由此可知： ( AB )-1 = B-1A-1 在矩阵的运算中没有除法，但用逆矩阵去乘相当于除法。不过，左乘、右乘有区别。 若： AD = C ，则： A = CD-1，D = A-1C 对称矩阵 转置矩阵：A 的转置矩阵 AT 是把矩阵 A 的行变成列，反之亦然。 对称矩阵 转置矩阵：A 的转置矩阵 AT 是把矩阵 A 的行变成列，反之亦然。 对称矩阵：如果 A = AT ，即对所有的 i 和 j ，都有 aij = aji 。对称矩阵一定是方阵。 厄米矩阵 转置共轭矩阵：A 的转置共轭矩阵 AH 是取其转置矩阵 AT 的复共轭而得，即 AH = ( AT )*。 厄米矩阵 转置共轭矩阵：A 的转置共轭矩阵 AH 是取其转置矩阵 AT 的复共轭而得，即 AH = ( AT )*。 厄米矩阵：如果 A = AH，即对所有的 i 和 j ，都有 aij = ( aji )*。厄米矩阵也一定是方阵。 酉矩阵 若矩阵 A 的转置共轭矩阵 AH 等于其逆矩阵，则矩阵 A 为酉矩阵： AH = A-1 or AAH = AHA = E 酉矩阵的列（或行）与向量空间里的一组正交归一的向量相关联。 若矩阵 A =