1.2 线性变换及其矩阵讲解材料.ppt

1.2 线性变换及其矩阵 一. 线性变换及其运算 1 线性变换 定义1.11 如果线性空间V上的一个变换T具有性质 其中 x,y?V, k,l?K ，则称T为V上的一个线性变换或线性算子. 例1.17 T 是 R2 上的旋转变换，即 其中; 例1.18在 Pn中，微分变换（微分算子）. 即 例1.19定义在闭区间[a,b]上的所有实连 续函数的集合C(a,b)构成R上的一个线性空间.在 C(a,b)上定义变换J（积分算子），即 例：投影变换： ;线性变换的性质： ;; 定义1.13 象子空间的维数 dimR(T) 称为T 的秩；核子空间的维数 dimN(T) 称为T的亏 （零度）. 对前面例子，分别求值域和零空间，并求秩与亏，并说明 dimN(T) + dimR(T) = dimV。 ;例1.20 设 ，试证明 是 Vn 的线性变换，并求T的秩与亏. 2 线性变换的运算（运算规则与矩阵的相同） 1. 加法 设 T1,T2 是V 的两个线性变换，定义它的和 T1+T2 为; 线性变换T的负变换定义为 运算规律： ;性质：（1） T1+T2 是V上的线性变换. （2） kT 是V上的线性变换. （3）V上的所有线性变换的集合L(V)，形成一个线性空间，记为 3. 线性变换的乘法 设 T1,T2 是V的两个线性变换，定义T1与T2 ; 5. 线性变换的多项式 设n是正整数，T是V的线性变换. 定义T的n 次幂为 定义T的零次幂为 运算规律： 当T是可逆时， 设 是t的m次多;项式，定义 称为线性变换T 的多项式. ; 二. 线性变换的矩阵表示 设T是 Vn的线性变换， 是Vn的一 个基，则有 ;采用矩阵形式表示 其中 ;例如 T0 的矩阵为 O ，Te的矩阵为I 。 例1.21 在n+1维线性空间 Pn中，其两个基分 别为;所以T在基（Ⅰ）与基（Ⅱ）下的矩阵分别为;由于 所以 因而 ;变换 T1,T2 在该基下依次有n阶矩阵A，B. 则有; 则Vn 的线性变换 f (T ) 在该基下的矩阵是 定理1.10 设线性变换T在 Vn 的基 下的矩阵 A=(aij ) ，向量 x 在该基下的坐标是 ，则 Tx 在该基下的坐标 满足 同一个基下，象与原象坐标的关系 证 因为 ;所以 证毕 定理1.11 设 Vn的线性变换T，对于 Vn的两 个基 的矩阵依次是 A和B，并且 那么 T在不同基下的矩阵相似 证 因为 ;由于 所以 证毕 ;定理1.12 设A是V上的线性变换，且 则下列命题等价： A是可逆线性变换（1-1变换即 若 是V中的无关组，则 是R（A）中的无关组。 3. 若 是V的基，则 也是 R（A）的基。 5. 零空间 ;定义1.15 若在线性空间V和W之间存在可逆的线性映射，则称V和W是同构的。 例1. 23 和 是同构的。 解： 可以验证T是线性映射，且 则T是可逆线性映射，从而V和W是同构的。 例1.24 和 是同构的。