2矩阵新教学教材.ppt

答案:2 例：（2005）设A为n阶可逆矩阵，交换A的第一行与第二行得到矩阵B，则 （A）交换A*的第一列与第二列，得B* （B）交换A*的第一行与第二行，得B* （C）交换A*的第一列与第二列，得－B* （D）交换A*的第一行与第二行，得－B* 答案：C 思路: 找A的逆 抽象行列式的计算( 初等变换、伴随矩阵结合） （2012数三填空） 此题在抽象行列式中讲过 例：A为n阶矩阵，且AAT=E,|A|=-1, 求证：A＋E不可逆。 证明：求det(A+E)=0即可。 课下作业： A为n阶矩阵，且AAT=E,|A|=1,n为奇数， 求证：E－A不可逆。 有关矩阵秩的重要结论： (2) 设矩阵 若 则存在可逆矩阵 使得 即矩阵A可以经过初等变换化为 形式。 (3) 若 都可逆，则 矩阵的秩（重点与难点） 矩阵秩的不等式的证明 例：证明 证： （1）设 把它们用列向量组表示 设 设A的列向量组的极大无关组为 则 设 则 设A的列向量组的极大无关组为 则 可知 中任一列向量都可由向量组 线性表示， 又 综上， 专题二 矩阵 核心内容，贯穿整个线性代数部分 考试内容：矩阵的概念 矩阵的线性运算 矩阵的乘法 方阵的幂 方阵乘积的行列式 矩阵的转置 逆矩阵的概念和性质 矩阵可逆的充要条件 伴随矩阵 矩阵的初等变换 初等矩阵的秩 分块矩阵及其运算 考试要求： 1.理解矩阵的概念 了解单位矩阵 数量矩阵 对角矩阵 三角矩阵的定义及性质 了解对称矩阵 反对称矩阵及正交矩阵的定义和性质 2.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置及它们讷的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积行列式的性质 3.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质及矩阵可逆的充要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵 4.了解矩阵的初等变换和初等矩阵及矩阵等价的概念，理解矩阵秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的逆矩阵和秩的方法。 5.了解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算法则 主要内容 矩阵概念与运算 初等变换：初等矩阵、等价 矩阵的逆：求法、证法 矩阵的秩：计算、性质 特殊矩阵：伴随矩阵、 对称矩阵、 反对称矩阵、正交矩阵、 对角矩阵 矩阵加法、减法、数乘、乘法 矩阵乘法不满足交换律 矩阵乘法不满足消去律 基本概念与运算复习 注：虽然 但 若A是n 阶方阵， 则 为A的 次幂，即 方阵的幂： 并且 方阵的多项式： 在矩阵理论的研究中,矩阵的分块是一种最基本,最重要的计算技巧与方法. (1) 加法: (2) 数乘: (3) 乘法: 分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似。 (4) 转置: 分块对角矩阵的行列式具有下述性质: 1.对角矩阵 两个同阶对角矩阵的和(差)仍为对角矩阵 数k与对角矩阵的乘积仍是对角矩阵 两个同阶对角矩阵的乘积仍是对角矩阵，并且他们是可交换的 2.数量矩阵 单位矩阵是特殊的数量矩阵 数量矩阵aE与任意的矩阵B乘积是可交换的aB 3.三角形矩阵 若n阶矩阵主对角线下方元素都等于零，称此矩阵为上三角形矩阵。 若n阶矩阵主对角线上方元素都等于零，称此矩阵为下三角形矩阵。 特殊矩阵 两个同阶上（下）三角形矩阵的和(差)乘仍为对角矩阵 数k与上（下）三角形矩阵的乘积仍是上（下）三角形矩阵 4.对称矩阵与反对称矩阵 两个同阶对称（反对称）矩阵的和(差)仍为对称（反对称）矩阵 数k与对称（反对称）矩阵的乘积仍是对称（反对称）矩阵 两个同阶对称（反对称）矩阵的乘积不一定是对称（反对称）矩阵 （需要可交换） 定理： 答案:(1) （2011数二，数三） 解： 复习： 等价：如果矩阵A经过有限次初等变换可化为矩阵B，则称矩阵A与矩阵B等价。即PAQ=B 分块矩阵的初等变换 矩阵的逆 唯一性：若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的. 矩阵可逆的判别定理及求法  注： 2015年数三 解： 设矩阵 ，且 求a的值； 若矩阵X 满足 其中E 为3阶单位矩阵，求矩阵X. 2015年数三试题 答案： 可逆矩阵可以经过若干次初等行变换化为单位矩阵. 定理： 可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积 推论： 用初等变换法求可逆矩阵的逆矩阵 等号两边右乘 如果对可逆矩阵 和同阶单位矩阵 作同样的初等 行变换，那么当 变成单位矩阵 时， 就变成 。 即， 即，  是可逆矩阵 是满秩矩阵 是非奇异矩阵 A可以写成一系列初等矩阵 的乘积 A不能有零特征值 证明矩阵可逆：行列式、满秩、特征值、反证法 伴随矩阵（重点） 伴随矩阵秩的性质： 证明：