chapter5讲解材料.ppt

* 唯一性定理（续） 定理 设 ?为 S 上可结合的二元运算, e 为该运算的幺元, 对于 x∈S 如果存在左逆元 yl 和右逆元 yr , 则有 yl = yr= y, 且 y 是 x 的唯一的逆元.? 证： 由 yl ? x = e 和 x ? yr = e 得 yl = yl ? e = yl ?(x ? yr) = (yl ? x) ? yr = e ? yr = yr 令 yl = yr = y, 则 y 是 x 的逆元. 假若 y’∈S 也是 x 的逆元, 则 y= y’ ? e = y’ ?(x ? y) = (y’ ? x) ? y = e ? y = y 所以 y 是 x 唯一的逆元. 说明：对于可结合的二元运算，可逆元素 x 只有唯一的逆元，记作 x?1. * 消去律 定义 设?为S上二元运算，如果? x, y, z?S， 若 x ? y = x ? z，且 x不是零元，则 y = z 若 y ? x = z ? x, 且 x 不是零元，则 y = z 那么称 ? 运算满足 消去律. 例7: Z, Q, R 关于普通加法和乘法满足消去律. Mn(R) 关于矩阵加法满足消去律， 但是关于矩阵乘法不满足消去律. * 例题分析 解 (1) ? 运算可交换，可结合. 任取x, y?Q, x ? y = x+y+2xy = y+x+2yx = y ? x, 任取x, y, z?Q, (x ? y) ? z= (x+y+2xy) + z + 2(x+y+2xy) z = x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz x ? (y ? z) = x + (y+z+2yz) + 2x(y+z+2yz = x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz 例8 设 ? 运算为 Q 上的二元运算， ?x, y?Q, x?y = x+y+2xy, (1) ?运算是否满足交换和结合律? 说明理由. (2) 求 ? 运算的幺元、零元和所有可逆元. * 给定 x，设 x 的逆元为 y, 则有 x ? y = 0 成立，即 x+y+2xy = 0 ? (x ? = ?1/2) 因此当 x ? ?1/2时， 是 x 的逆元. 例题分析（续） (2) 设?运算的幺元和零元分别为 e 和 ?，则对于任意 x 有 x?e = x 成立，即 x+e+2xe = x ? e = 0 由于 ? 运算可交换，所以 0 是幺元. 对于任意 x 有 x ? ? = ? 成立，即 x+?+2 x ? = ? ? x + 2 x ? = 0 ? ? = ?1/2 * 例题分析（续） 例9 (1) 说明哪些运算是交换的、可结合的、幂等的. (2) 求出运算的幺元、零元、所有可逆元素的逆元. ? a b c ? a b c ? a b c a b c c a b a b c b c a a b c a a a b b b c c c a b c a b c b c c c c c 解 (1) ? 满足交换、结合律；? 满足结合、幂等律； ? 满足交换、结合律. (2) ? 的幺元为 b, 没零元， a?1 = c, b?1 = b, c?1 = a ? 的幺元和零元都不存在，没有可逆元素. ? 的幺元为 a，零元为c, a?1=a. b, c不可逆. * 由运算表判别算律的一般方法 交换律：运算表关于主对角线对称 幂等律：主对角线元素排列与表头顺序一致 消去律：所在的行与列中没有重复元素 幺元: 所在的行与列的元素排列都与表头一致 零元：元素的行与列都由该元素自身构成 A 的可逆元：a 所在的行中某列 (比如第 j 列) 元素为 e，且第 j 行 i 列的元素也是 e，那么 a 与第 j 个元素互逆 结合律：除了幺元、零元之外，要对所有3个元素的组合验证表示结合律的等式是否成立 * 例题分析（续） 例10 设 A = { a, b, c }, 构造 A 上的二元运算* 使得