Matrix 6-1讲解材料.ppt

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2010 级《矩阵论》考试信息 考试时间:第15周3(12月15日), 19:00 - 21:30 考试地点:西12楼(详见网上通知) 答疑时间:第15周星期2,3下午 答疑地点:逸夫科技楼(南)602# 以研究生院网上通知为准! 请相互转告并务必查看网上通知! 第6章 矩阵的Kroneker积和Hadamard积 The Kroneker Product and Hadamard Product 概述: 内容: 介绍Kroneker积和Hadamard积 讨论 K-积,H-积的运算性质、之间的关系 K-积与矩阵乘积的关系 K-积,H-积的矩阵性质 K-积的矩阵等价与相似关系 介绍应用 向量化算子 重点:K-积及其应用 6.1 Kroneker积和Hadamard积的定义 定义6. 1(P . 136) 设矩阵A=[aij]m ? n和B=[bij]s?t矩阵 ,则A, B 的Kronecher被定义为A?B: A?B=[aijB]m?n 设A =[aij]m ? n和B=[bij] m ? n为同阶矩阵,则A和B的Hadamard被定义为A ? B: A?B= [aijbij]m ? n 例题1 设 ,计算 A?B,B?A,I2?B,A?B,I2?A K-积,H-积的基本结果: A和B中有一个为零矩阵,则A?B=0,A?B=0 I?I=I,I?I=I 若A为对角矩阵,则A?B为分块对角矩阵,A?B为对角矩阵。 K-积的基本性质 定理6.1(P . 138)设以下矩阵使计算有意义,则 (kA)?B=A?(kB) A?(B+C)=A?B+A?C (A?B)?C=A?(B?C) (A?B)H=AH?BH A?B ? B?A H-积的基本性质: 设A,B为同阶矩阵,则 A?B=B?A (kA)?B=A?(kB) A?(B+C)=A?B+A?C (A?B)?C=A?(B?C) (A?B)H=AH?BH Kronecher和Hadamard的关系: 定理6.3(P . 139) K-积与矩阵乘法 定理6.2(P . 138)设矩阵A,B,C,D使得下列运算有意义,则有 (A?B) (C?D)=(AC)?(BD) 意义:建立Kronecher积和矩阵乘法的相互转换。 特别情形:设A?F m ? m ,B ? F n ? n,则 A?B=(Im ?B) (A?I n)= (A?I n) (Im ?B) 6.2Kronecher积和Hadamard积的性质 Kronecher积的矩阵性质 定理6.4 (P . 140)设矩阵使下列运算有意义,则 当A,B分别为可逆矩阵时,A?B为可逆矩阵,而且有 (A?B) –1 =A–1?B –1 当方阵A ?F m ? m ,B ?F n ? n时,方阵A?B ?F mn ? mn的行列式为 |A?B| =|A|n |B| m 若A,B 是Hermite矩阵,则A?B是Hermite矩阵 若A,B 是酉 矩阵,则A?B是酉矩阵。 Kronecher积的矩阵函数性质 定理6.8(P . 143)设是f(z)解析函数,f(A)有意义,则 f (I?A) =I?f(A) f(A?I) =f(A)?I 特例: 例题1 设 A?F m ? n , B?F s ? t ,证明 rank(A ? B)=rank(A)rank(B) 例题2(P . 144) ,设 , 求(A?B)的特征值和特征向量 求[(A?I) +(I?B)]的特征值和特征向量 例题3:证明对任何方阵,有 6. 3 矩阵的向量化算子和K-积 向量化算子Vec 定义(P . 143)设 A=[aij]m ? n 则 Vec(A) = (a11 a21 … am1; a12 a22 … am2 ;…; a1n a2n … amj)T 性质:(P . 146) Vec是线性算子: Vec(k1A+k2B)=k 1Vec ( A ) +k2 Vec ( B) 2 定理6. 10(P . 146)Vec(ABC) =(CT ? A) VecB 3 Vec(AX) =(I ? A) VecX 4 Vec(XC

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