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2008/04 ---线性代数--- 例：将下述矩阵化成阶梯矩阵、矩阵标准形： （六）矩阵的分块 ? 对矩阵A用若干条横线和竖线分成若干子块，称矩阵的分块。 复习思考题： 1．矩阵概念是什么？与行列式区别是什么？ 2．哪些矩阵被认为是特殊矩阵？ 3．矩阵的加法、减法、数量积的运算有什么要求？符合哪些运算法则？ 4．矩阵乘法的运算规则？符合哪些运算性质？ 5．什么是子式？什么是秩？什么是满秩矩阵？ 6．逆矩阵是如何定义的？ 7．什么是阶梯矩阵？什么是矩阵标准形？ 8．矩阵的初等变换的主要用途有哪些？ 三、线性方程组 ◇ 向量 ◇ 向量的线性相关和线性无关 ◇ 最大线性无关向量组 ◇ 齐次线性方程组的基础解系及求解 ◇ 非齐次线性方程组解的结构及求解 （一）n 维向量的概念 概念：数组α=(a1, a2,···,an) 是n维行向量，而 αT=(a1, a2,···,an)T是n维列向量。 ※ 名词：分量 维数 向量个数 ※ 可视作矩阵的特例，适用矩阵运算定义及规则 矩阵A 可看成是 m个 n 维行向量组成，也可看成是 n个 m 维行向量组成。 ※ 零向量θ，单位向量e。 （二）向量的线性相关与线性无关 ? 线性表示：设有n 维向量α1α2, ···,αm, β，若有 ? = k1α1 +k2α2 + ··· +kmαm , （ki为常数），称β是α1,α2, ···,αm的线性组合，或β可用α1,α2, ···,αm线性表示。 ? 设α1,α2, ···,αm，是m个n维向量，若存在m个不全为0 的数k1, k2, ···, km，使得 k1α1 +k2α2 + ··· +kmαm=?，则称α1,α2, ···,αm线性相关，否则称线性无关。 2．线性相关与无关判定 1）利用定义：由 k1?1 +k2?2 +··· +km?m = ? ， 解得 k1=k2= ···km= 0 为惟一一组解。 2）充要条件： 设α1,α2, ···,αm 是一组n维向量，若相关则其中至少有一个向量可用其余向量线性表示。 3）一个向量线性相关只有?=?，含有? 的向量组线性相关。 4）设α1,α2, ···,αm 是一组线性相关的 n维向量，则任一包含α1,α2, ···,αm n 维向量组也一定线性相关。 5）若设α1,α2, ···,αm 是一组线性无关向量， 则从中取出任意若干个向量均线性无关。 特别： ? 当mn时，必相关； ? 当m=n时，|A|≠0是?1,?2, ···,?m 线性无关充要条件。 6）n维向量?1=(a11,a12, ···,a1n), ?2=(a21,a22, ···,a2n), ···, ?m = (am1,am2, ··· amn) 线性无关的充要条件是r(A)=m，其中 例： 设?1=(1, -1, 2)， ?2=(2, 1, 1)，?3=(7, -1, 8)， 问： ?1 、 ?2 、 ?3是否线性相关？ 例：n个n维单位向量e1=(1, 0,···, 0)， e2=(0, 1,···, 0), ···, en=(0, 0,···, 1)线性无关。 （三）向量族的极大无关组 1．概念 设有一族n维向量（有限个为组），若在该族向量中存在向量组?1,?2, ···,?m满足下述条件： （1） ?1,?2, ···,?m线性无关； （2）在此族向量中任取出一个向量? 加进去，向量组?1,?2, ···,?m ,? 线性相关； 则称?1,?2, ···,?m是这族向量的极大线性无关组，简称极大无关组。 ※ 一般，极大无关组不惟一，但含有向量个数相同。 ※ 极大无关组含有向量个数称为向量族（组）的秩。 例：求下述向量组的秩： * 第二部分：线性代数 一、行列式 ◇ 行列式的概念 ◇ 基本性质和计算方法 ◇ 克莱姆法则 ☆ 行列式 ☆ 矩阵 ☆ 线性方程组 ☆ 特征向量与特征根 （一）行列式的概念 三阶行列式：定义 二阶行列式：定义 ※ n 阶行列式 定义：n2个数aij（i, j=1,2,······,n）组成的算式 式中aij代数余子式Aij=(-1)i+jMij，而Mij称为aij余子式为D中划掉第i行、第j列后的 n-1 阶行列式。 ※ 特殊行列式 （1）转置行列式：D T （2）对角行列式： （3）三角行列式： 1）上三角行列式 2）下三角行列式 ※ 对角行列式、上、下三角行列式的值均为主对角线元素之积。 （二）基本性质和计算方法 （1）D=DT （2）按任一行（列）展开，值相等。 （3）对调D的两行，值变号。 （4）可提取D某一行（列）因子。 （5）若D某行（列）元素全为0，或两