§6.4离散数学子群及其陪集教程教案.ppt

§6.4 子 群 及 其 陪 集;6.4.1 子 群 的 定 义;子群的例;平凡子群;6.4.2 子群的判别条件;判别条件一;判别条件一;判别条件一;子群H与大群G的关系： H的单位元就是G的单位元， H中任一元素a在H中的逆元也就是a在G中的逆元。 ;应用判别条件一 例;用反证法，若x·y∈H1， 则由x∈H1 及由H1是G的子群知， x-1∈H1， 故， x-1·（x·y）∈H1， 即， y∈H1， 与y ? H1矛盾。 若x·y∈H2，则由y∈H2 及由H2是G的子群知， y-1∈H2， 故， （x·y）·y-1∈H2， 即， x∈H2， 与x ? H2矛盾。 因此，x·y?H1∪H2，而x·y∈G，所以H1∪H2≠G。;判别条件二; 设（*）成立，往证(1),(2)成立。 设a∈H，由（*）可推得， a∈H ，a∈H，故aa-1∈H,即1∈H。 若a∈H，又由（*）可推得， 1∈H，a∈H，则1a-1∈H，即a-1∈H， 因而（2）成立。 设a∈H，b∈H，因为（2）已证,故b-1∈H。 再由(*)推知, a∈H, b-1∈H, 则 a（b-1）-1∈H，即 ab∈H， 故（1）成立。 ;应用判别条件二 例;判别条件三;证明：必要性显然。 充分性。由判别条件一知，只需证明 若a∈H，则a-1∈H即可。 任取a?H, 则由运算封闭性， a,a2, a3,... ?H。 因为 H有限 ,所以 ?i,j ,有 ai=aj, ji，故 aj-i=1, a aj- i -1=1 a) 若j- i1, 则 a-1 =aj- i -1?H。 b) 若j- i=1, 则 a=1, 故 a-1 =a ?H。 因此，H是G的子群。;应用判别条件三 例;6.4.3 循 环 群 ;6.4.3 循 环 群;元素的周期;结论：群的单位元的周期为1，（1）={1}。 结论：群中任一元素和它的逆元具有同样的周 期。 证明: 若a的周期为无穷大,则显然a-1的周期也为无穷大。 若a的周期为n, a-1的周期为m， 由(a-1)n=a-1?n=(an)-1=1-1=1，知 m≤n（m|n）。 由am=((a-1)m)-1=1-1=1 ，知 n≤m (n|m) 。 因此，m=n。;周期的例;周期的例;由y·x·y -1= x 2，得： x4=（y·x·y –1）·（y·x·y –1） =（y·x）·（y–1·y）·（x·y–1） =（y·x）·1·（x·y –1） = y·x2·y –1 = y·（y·x·y –1）·y –1 由已知 = y2·x·y –2 由y的周期是2知，y2=1，且 y–2=1。因此， x4= 1·x·1=x。 即，x3=1。因此，3是满足xn=1的n的最小正整数， 即，x的周期是3。 ;周期的性质 ;证明：因为任意整数m恒可唯一地表为 m=nq+r，0≤rn 故 am=anqar=(an ) qar=1qar=lar=ar； 由于0≤rn，故按周期的定义知 ar=1 iff r=0 所以 am=1 iff r=0 iff n∣m 即（2）得证。由（2）即知 as=at iff as-t=1 iff n∣(s-t)， 即（3）得证，最后由（3）立即可得（1）。 ; 结论：设a为群G的一个元素， （1）如果a的周期为无穷大，则（a）是无限循环群，（a）由彼此不同的元素 …，a-2，a-1，1，a，a2，… 组成。 （2）如果a的周期为n，则（a）为n元循环群，它由n个不同的元素 1，a，a2，a3，…，an-1 组成。;加法群中元素的周期;循环群的生成元素 ;证明： （1）如果ak是（a）的一个生成元，那么（a） 中每个元素都可表示为ak的方幂。特别地，a也 可表示为ak的方幂。设 a = (ak) m = ak m。 由（a）是无限循环群知，km=1。 因此，k=±1。即， a及a-1为无限循环群（a）的 生成元。;???（2） 必要性。 若ak是（a）的一个生成元，那么（a）中每个元素都可表示为ak的方幂。特别地，a也可表示为ak的方幂。设 a = (ak) m = ak m。 因（a）是一个n元循环群，即a的周期为n。由周期的性质知，n|km-1。因此， km-