《线代》第1章节1.ppt

第一章 矩阵§1.1 基本概念;三．矩阵的概念 1. 矩阵的定义 (m行n列的“矩形数表” ) : A= , 其中 称为矩阵A 的第i行第j列元素(i=1,2,…,m；j=1,2,…,n). 2. 引例 : 数表 就具体反映了这三位同学四门 课程的期末考试成绩和总成绩. 思考：引例中的矩阵是如何揭示其元素间的关系的？;四．几类特殊的矩阵 1. 实矩阵(或复矩阵) ; 2. 零矩阵； 3. n阶矩阵(n阶方阵)与单位矩阵； 4. 上(或下)三角形矩阵； 5. 对角矩阵与数量矩阵. 思考：掌握这几类特殊的矩阵有何意义？ 作业: *练习1.1之A1、A3；B2、B3. 练习1.1之A1、A3、A4.;§1.2 矩阵的运算; 二．矩阵的乘法 定义1.2.3 设A =[ ] 与B =[ ] ，则规定 矩阵A与B 的乘积是一个m×n矩阵C = [ ] , 其中 = = ， . 当A为n阶矩阵时，A的幂运算定义为：A = A A, 这里k是正整数; 并规定：A =E. 进而，设ψ(x)= ( )是x的m次多项式， A为n阶矩阵，则矩阵 ψ(A)= 称为矩阵A的m次多项式. ;例1.2.6 设A = ，B = , 计算矩阵 AB,BA,A2,B2,(AB)2和A2B2. 此例说明，即使AB与BA同型，但AB与BA未必相等，故矩阵的乘法不满足交换律；而两个非零矩阵的乘积为零矩阵，揭示矩阵的乘法不满足消去律；又(AB)2≠A2B2，说明矩阵的乘法不满足异底指幂律. 思考：为何矩阵的乘法不满足交换律、消去律和异底指幂律？;我们可以证明矩阵的乘法满足下列算律(假设相关的运算均有定义) (1) 乘法恒等律：EA= A= AE *(2) 乘法结合律：(AB)C = A(BC)； (3) 乘法对加法的分配律：A(B+C) = AB+AC, (B+C)A = BA+CA； (4) 同底指幂律：A A = A , (A ) = A .;证 设A=[ ] ,B=[ ] ,C=[ ] ,则依矩阵乘法的 定义知， AB是 矩阵，进而，(AB)C是 矩阵. 同理，A(BC)是 矩阵. 注意到，AB的第i行元素为 [ , ,… , ], 这样，(AB)C 的第i行第j列元素为 = ; 同理，A(BC) 的第i行第j列元素为 = . 再依连和号的性质，知 = . 故命题得证.;矩阵的转置可视为一种矩阵运算，它满足下列算律(假设运算都是可行的)： (1) 二次互反性：(A ) = A ； (2) 可加性：(A+B) = A +B ； (3) 可数乘性：(kA) = kA ； *(4) 乘积反序性：(AB) = B A . ;证 设A=[ ] ,B=[ ] ,则C=[ ] ，其中 = = ， . 故C 的第i行第j列元素为 = , . 又B 的第i行为[ ], A 的第j列为[ ] , 于是，B A 的第i行第j列元素为 = = , . 因此，依矩阵相等的定义，知 (AB) = B A . 运用数学归纳法可