2016届《创新设计》数学（文）江苏专用一轮复习 第三章 导学案 导数及其应用 word版含答案_精品.doc

第1讲　导数的概念及其运算 考试要求　1.导数概念及其实际背景，A级要求；2.导数的几何意义，B级要求；3.根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝，y＝x2，y＝x3，y＝的导数，A级要求；4.利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，B级要求； 知 识 梳 理 1．导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 ①定义：设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值＝无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)． ②几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． (2)称函数f′(x)＝ 为f(x)的导函数． 2．基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝xα(α∈Q*) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ax f′(x)＝axln a(a0) f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 3.导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)． (3)′＝(g(x)≠0)． 诊 断 自 测 1．思考辨析(请在括号中打“√”或“×”) (1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．(×) (2)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(√) (3)若f(x)＝a3＋2ax－x2，则f′(x)＝3a2＋2x.(×) (4)物体的运动方程是s＝－4t2＋16t，在某一时刻的速度为0，则相应时刻t＝2.( ×) 2．(2015·镇江调研)已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为________． 解析　y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，且y′＝，设切点为(x0，ln x0)，则y′|x＝x0＝，切线方程为y－ln x0＝(x－x0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x0＝－1，解得x0＝e，故此切线的斜率为. 答案　 3．(苏教版选修1－1P82T4改编)直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b的值等于______． 解析　依题意知，y′＝3x2＋a，则由此解得所以2a＋b＝1. 答案　1 4．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________. 解析　设ex＝t，则x＝ln t(t＞0)， ∴f(t)＝ln t＋t，∴f′(t)＝＋1，∴f′(1)＝2. 答案　2 5．(2014·江西卷)若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________． 解析　令f (x)＝xln x，则f ′(x)＝ln x＋1， 设P(x0，y0)，则f ′(x0)＝ln x0＋1＝2，∴x0＝e，此时y0＝x0ln x0＝eln e＝e，∴点P的坐标为(e，e)． 答案　(e，e) 考点一　利用定义求函数的导数 【例1】 利用导数的定义求函数f(x)＝x3的导数． 解　Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(x＋Δx)3－x3 ＝x3＋3x·(Δx)2＋3x2·Δx＋(Δx)3－x3 ＝Δx[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]， ∴＝3x2＋3x·Δx＋(Δx)2， ∴f′(x)＝ ＝ [3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝3x2. 规律方法　定义法求函数的导数的三个步骤 一差：求函数的改变量Δy＝f(x＋Δx)－f(x)． 二比：求平均变化率＝. 三极限：取极限，得导数y′＝f′(x)＝. 【训练1】 函数y＝x＋在[x，x＋Δx]上的平均变化率＝________；该函数在x＝1处的导数是________． 答案　1－　0 考点二　导数的计算 【例2】分别求下列函数的导数： (1)(2015·苏州调研)已知f (x)＝x2＋2xf ′(2 014)＋2 014ln x，则f ′(2 014)＝________. 解析　由题意得f ′(x)＝x＋2f ′(2 014)＋， 所以f ′(2 014)＝2 014＋2f ′(2 014)＋， 即f ′(2 014)＝－(2 014＋1)＝－2 015. 答案　－2 015 (2)分别求下列函数的导数： ①y＝ex·cos x；②y＝x； ③y＝x－sin cos ；④y＝ 解　①y′＝(ex)′cos