可逆矩阵和分块矩阵.ppt

在平面解析几何中，我们曾经讨论过坐标之间 的变换。例如从变量x，y到变量u，v的一个线性 变换： 或 （3.1） 反过来，从（3.1）式中解出x，y，又有从u， v到x，y的线性变换： 第三节 可逆矩阵 或 （3.2） 若记（3.1）、（3.2）式中的系数矩阵分别为 A，B，即 不难验证矩阵A，B满足下列性质： 称它们互为“逆矩阵” 设A为n阶矩阵，如果存在一个n阶矩 阵B，使得 AB=BA=E 则称A为可逆的（Invertible），并称B为A的逆矩 阵（Inverse），记作 B=A-1。 如果不存在满足上式的矩阵B，则称矩阵A是 不可逆的。 定义1 一. 可逆矩阵的定义 1. 单位矩阵是可逆的，因为 2. 对于 n 阶对角矩阵 因为 所以 。 可逆矩阵与不可逆矩阵都是存在的。例如： · = · = E 所以这个 n 阶对角矩阵是可逆的，且 3.设 3 阶矩阵 因为 所以这个 3 阶矩阵是不可逆的。 若 A 为 n 阶可逆矩阵，且矩阵B，C均为其 逆矩阵。则有 若 A 为 n 阶可逆矩阵，则它的逆矩阵是 唯一的。 定理1 证 下证 即逆矩阵确实是唯一的，且 B=C=A-1 。 从而 设 , Aij 为|A|的元素 aij 的代 为矩阵A的伴随矩阵（adjoint matrix）。 定义2 数余子式，则称矩阵 注意伴随矩阵的具体形式。 二. 可逆矩阵的判定 因为A 可逆，由定义1知存在矩阵 B ， 使 定理2 n 阶矩阵A可逆的充要条件是|A|≠0， 并且此时 证 AB=BA=E 取行列式，得 |AB|=|BA|=|E| 即 |A||B|=1≠0 所以|A|≠0 。 因为|A|≠0，所以有 证 由引理 再由逆矩阵的定义可知，A可逆，且 若 n 阶矩阵A的的行列式 ，则称 定义3 A是非奇异的（或非退化的）。 否则，称A为奇异的（或退化的）。 设A、B 均为 n 阶矩阵，且满足 AB=E （或 BA=E ） 则 A、B 均可逆，且 B= A-1 ，A=B-1。 推论 可见，矩阵可逆与非奇异（或非退化）是等价的。 即 同理可证 |A||B|=1 所以|A|≠0，|B|≠0，故 A, B 均可逆。 再由 A 可逆， A-1 存在，在给定的条件等式两 边左乘A-1，则得 由 AB=E 得 证 已知下列 3 阶矩阵，证明A可逆，并求出其 证 例1 逆矩阵 A-1。 因为 所以 A 可逆。又 所以 于是 设 n 阶矩阵 A 满足 取行列式，得 利用前面的推论（AB=E）来判断是否可逆。 证 例2 证明矩阵 A，A+E,，A+2E 均可逆，且求其逆。 于是A可逆，且 又 得 和 于是A+E, A+2E 均可逆，且其逆 求逆矩阵可看作是对矩阵的一种运算。而且它 有以下性质： 2）若A可逆，则A-1也可逆，且 (A-1)-1 =A ； 3）若A、B均为 n 阶可逆矩阵，则 AB 也可逆，且 (AB)-1 = B-1A-1 ； 1）若A可逆, k≠0, 则 kA 也可逆, 且 4）若 A 可逆，则 |A-1 | =|A|-1 。 三. 逆矩阵的性质 仅以第 3）式为例给予证明。 矩阵，则由定理2可知： ，从而AB 5）若矩阵 A 可逆，则其转置矩阵AT也可逆， 证 也可逆，又因为 所以再由定理2的推论得 且 设是A,B可逆 设A为 n 阶矩阵（n 2）， 是 A 的伴 由引理，并取行列式，得 （1）当 ，即 A 可逆，上式两端同除以 证 例3 两边约去|A|，是否 就直接得到？ 下面分三种情况： 随矩阵 ，证明： （3）当|A|=0，但A≠0时，则有|A*|=0。 用反证法，假设|A*|≠0 ，则A*可逆，因而 这与A