可逆矩阵和分块矩阵.ppt

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在平面解析几何中,我们曾经讨论过坐标之间 的变换。例如从变量x,y到变量u,v的一个线性 变换: 或 (3.1) 反过来,从(3.1)式中解出x,y,又有从u, v到x,y的线性变换: 第三节 可逆矩阵 或 (3.2) 若记(3.1)、(3.2)式中的系数矩阵分别为 A,B,即 不难验证矩阵A,B满足下列性质: 称它们互为“逆矩阵” 设A为n阶矩阵,如果存在一个n阶矩 阵B,使得 AB=BA=E 则称A为可逆的(Invertible),并称B为A的逆矩 阵(Inverse),记作 B=A-1。 如果不存在满足上式的矩阵B,则称矩阵A是 不可逆的。 定义1 一. 可逆矩阵的定义 1. 单位矩阵是可逆的,因为 2. 对于 n 阶对角矩阵 因为 所以 。 可逆矩阵与不可逆矩阵都是存在的。例如: · = · = E 所以这个 n 阶对角矩阵是可逆的,且 3.设 3 阶矩阵 因为 所以这个 3 阶矩阵是不可逆的。 若 A 为 n 阶可逆矩阵,且矩阵B,C均为其 逆矩阵。则有 若 A 为 n 阶可逆矩阵,则它的逆矩阵是 唯一的。 定理1 证 下证 即逆矩阵确实是唯一的,且 B=C=A-1 。 从而 设 , Aij 为|A|的元素 aij 的代 为矩阵A的伴随矩阵(adjoint matrix)。 定义2 数余子式,则称矩阵 注意伴随矩阵的具体形式。 二. 可逆矩阵的判定 因为A 可逆,由定义1知存在矩阵 B , 使 定理2 n 阶矩阵A可逆的充要条件是|A|≠0, 并且此时 证 AB=BA=E 取行列式,得 |AB|=|BA|=|E| 即 |A||B|=1≠0 所以|A|≠0 。 因为|A|≠0,所以有 证 由引理 再由逆矩阵的定义可知,A可逆,且 若 n 阶矩阵A的的行列式 ,则称 定义3 A是非奇异的(或非退化的)。 否则,称A为奇异的(或退化的)。 设A、B 均为 n 阶矩阵,且满足 AB=E (或 BA=E ) 则 A、B 均可逆,且 B= A-1 ,A=B-1。 推论 可见,矩阵可逆与非奇异(或非退化)是等价的。 即 同理可证 |A||B|=1 所以|A|≠0,|B|≠0,故 A, B 均可逆。 再由 A 可逆, A-1 存在,在给定的条件等式两 边左乘A-1,则得 由 AB=E 得 证 已知下列 3 阶矩阵,证明A可逆,并求出其 证 例1 逆矩阵 A-1。 因为 所以 A 可逆。又 所以 于是 设 n 阶矩阵 A 满足 取行列式,得 利用前面的推论(AB=E)来判断是否可逆。 证 例2 证明矩阵 A,A+E,,A+2E 均可逆,且求其逆。 于是A可逆,且 又 得 和 于是A+E, A+2E 均可逆,且其逆 求逆矩阵可看作是对矩阵的一种运算。而且它 有以下性质: 2)若A可逆,则A-1也可逆,且 (A-1)-1 =A ; 3)若A、B均为 n 阶可逆矩阵,则 AB 也可逆,且 (AB)-1 = B-1A-1 ; 1)若A可逆, k≠0, 则 kA 也可逆, 且 4)若 A 可逆,则 |A-1 | =|A|-1 。 三. 逆矩阵的性质 仅以第 3)式为例给予证明。 矩阵,则由定理2可知: ,从而AB 5)若矩阵 A 可逆,则其转置矩阵AT也可逆, 证 也可逆,又因为 所以再由定理2的推论得 且 设是A,B可逆 设A为 n 阶矩阵(n 2), 是 A 的伴 由引理,并取行列式,得 (1)当 ,即 A 可逆,上式两端同除以 证 例3 两边约去|A|,是否 就直接得到? 下面分三种情况: 随矩阵 ,证明: (3)当|A|=0,但A≠0时,则有|A*|=0。 用反证法,假设|A*|≠0 ,则A*可逆,因而 这与A

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