2010-2012年全国高中数学联赛广东省预赛试题及答案_精品.doc

2010年全国高中数学联赛广东省赛区预赛试题 （考试时间：2010年9月4日上午10：00—11：20） 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上. 1.方程在区间上的实根个数为_________________. 2.设数列的前项和为，则满足不等式的最小整数是_________________. 3.已知（，）是常数，且，，，是区间内任意实数，则函数的最大值等于_________________. 4.圆周上给定10个点，每两点连一条弦，如果没有三条弦交于圆内一点，那么，这些弦在圆内一共有_________________个交点. 5.一只虫子沿三角形铁圈爬行，在每个顶点，它都等机会地爬向另外两个顶点之一，则它在次爬行后恰好回到起始点的概率为_________________. 6.设是平面上一个定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足，其中，则点的轨迹为_________________. 7.对给定的整数，符号表示中使能被3整除的唯一值，那么_________________. 8.分别以直角三角形的两条直角边，和斜边为轴将直角三角形旋转一周，所得旋转体的体积依次为，，，则与的大小关系是_________________. 二、解答题：本大题共3小题，共56分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 1.（本小题满分16分）是否存在实数，使直线和双曲线相交于两点、，且以为直径的圆恰好过坐标系的原点？ 2.（本小题满分20分）求证：不存在这样的函数，满足对任意的整数，，若，则. 3.（本小题满分20分）设非负实数，，满足， 求证： 2011年全国高中数学联赛广东省预赛试题 （考试时间：2011年9月3日上午10∶00—11∶20） 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在横线上． 1. 设数列满足，则 . 2. 不等式对一切成立，则实数a的取值范围为 . 3. 已知定义在正整数集上的函数满足以下条件： (1) ，其中为正整数； (2) .则 . 4. 方程一共有 个解. 5. 设半径为10厘米的球中有一个棱长为整数（厘米）的正方体, 则该正方体的棱长最大等于 . 6. 一个玻璃杯的内壁是由抛物线绕y轴旋转而构成的.请问能接触到杯底的球的半径最大是 . 7. 计算：. 8. 10名学生站成一排，要给每名学生发一顶红色、黄色或者蓝色的帽子，要求每种颜色的帽子都要有，且相邻的两名学生帽子的颜色不同. 则满足要求的发帽子的方法共有 种. 二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 1．（本小题满分16分）若是大于2的正整数，求 的最小值. 2．（本小题满分20分）在一条线段上随机独立地取两点，然后从这两点处把线段分成三段.请问得到的三条新线段能构成三角形的概率是多少？ 3．（本小题满分20分）数列满足，当时有. 证明：对所有整数，有. 2012年全国高中数学联赛广东省预赛试题 （考试时间：2012年9月8日上午10∶00—11∶20） 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在横线上 1. 已知，则 . 2. 函数的最小值等于 . 3. 已知 ，其中为常数，且. 若 为常数，则的值为 . 4. 已知方程有两个相异的正实数解，则实数的取值范围是 . 5. 将25个数排成五行五列： 已知第一行,,,,成等差数列，而每一列，，，， （）都成等比数列，且五个公比全相等. 若,,,则的值为______. 6.设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为______. 7.将2个和2个共4个字母填在4×4方格表的16个小方格内，每个小方格内至多填一个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法种数共有 . 8.一个直角梯形的上底比下底短，该梯形绕它的上底旋转一周所得旋转体的体积为，该梯形绕它的下底旋转一周所得旋转体的体积为，该梯形绕它的直角腰旋转一周所得旋转体的体积为，则该梯形的周长为 . 二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 1．（16分）设椭圆的左、右顶点分别为，点在椭圆上且异于两点，为坐标原点. 若， 证明：直线的斜率满足. 2．（本小题满分20分） 设非负实数，， 满足. 求 的最值使得对于所有， ，都能被整除. 2010年全国高中数学联赛广东省预赛参考答案 一、填空题 1.设，则，∵，∴，又，∴，即在区间上单调递增，故方程在区间上有且只有一个实根. 2. 易知数列是首项是，公比是的等比数列，∴，于是，∵，，故最小整数是7. 3.∵，