17-18版：2.4.1 抛物线及其标准方程.docx

2．4.1　抛物线及其标准方程学习目标　1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导.3.明确抛物线标准方程中p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知识点一　抛物线的定义思考1　平面内，到两定点距离相等的点的轨迹是什么？　　思考2　平面内，到两个确定平行直线l1，l2距离相等的点的轨迹是什么？　　思考3　到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是什么？　　梳理　(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离________的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的________，直线l叫做抛物线的________．(2)定义的实质可归纳为“一动三定”：一个动点，设为M；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(即点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1∶1)．知识点二　抛物线的标准方程思考　抛物线的标准方程有何特点？　　　梳理　由于抛物线焦点位置不同，方程也就不同，故抛物线的标准方程有以下几种形式：y2＝2px(p0)，y2＝－2px(p0)，x2＝2py(p0)，x2＝－2py(p0)．现将这四种抛物线对应的图形、标准方程、焦点坐标及准线方程列表如下：图形标准方程焦点坐标准线方程y2＝2px(p0)(，0)x＝－y2＝－2px(p0)(－，0)x＝x2＝2py(p0)(0，)y＝－x2＝－2py(p0)(0，－)y＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　类型一　抛物线的定义及理解例1　(1)动点M的坐标满足方程5＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是(　　)A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．以上都不对(2)已知点P(x，y)在以原点为圆心的单位圆x2＋y2＝1上运动，则点Q(x＋y，xy)的轨迹所在的曲线是________．(在圆、抛物线、椭圆、双曲线中选择一个作答)反思与感悟　抛物线的判断方法(1)可以看动点是否符合抛物线的定义，即到定点的距离等于到定直线(直线不过定点)的距离．(2)求出动点的轨迹方程，看方程是否符合抛物线的方程．跟踪训练1　平面上动点P到定点F(1,0)的距离比点P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程．　类型二　抛物线标准方程及求解命题角度1　抛物线的焦点坐标或准线方程的求解例2　抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是(　　)A.B.C．1D.反思与感悟　根据抛物线方程求准线方程或焦点坐标时，应先把抛物线的方程化为标准方程，即等式左端是二次项且系数是1，等式右端是一次项，这样才能准确写出抛物线的准线方程．跟踪训练2　(1)若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝________；准线方程为________．(2)求下列抛物线的焦点坐标和准线方程．①y2＝40x；②4x2＝y；③3y2＝5x；④6y2＋11x＝0.　命题角度2　求解抛物线的标准方程例3　根据下列条件分别求抛物线的标准方程．(1)抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；　　　(2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5.　　　反思与感悟　抛物线标准方程的求法(1)定义法：建立适当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求出p，最后写出标准方程．(2)待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p的值．跟踪训练3　已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程．　　类型三　抛物线在实际生活中的应用例4　河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5m时，水面宽为8m，一小船宽4m、高2m，载货后船露出水面上的部分高0.75m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？　　　反思与感悟　涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解．跟踪训练4　喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶点A处，喷出水流的最高点B高5m，且与OA所在的直线相距4m，水流落在以O为圆心，半径为9m的圆上，则管柱OA的长是多少？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．抛物线y＝x2的准线方程是(　　)A．y＝－1B．y＝－2C．x＝－1D．x＝－22．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值为(　　)A．4B．－2C．4或－4D．12或－23．若抛物线y2＝2px(p0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p＝________.4．若抛物线y2＝2px(p0)的准线经过双曲线x2－y2