17-18版：3.3.3 函数的最大(小)值与导数.pptx

第三章§3.3　导数在研究函数中的应用3.3.3　函数的最大(小)值与导数学习目标1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值．内容索引问题导学题型探究当堂训练问题导学知识点　函数的最大(小)值与导数如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图象．思考1 观察[a，b]上函数y＝f(x)的图象，试找出它的极大值、极小值．答案极大值为f(x1)，f(x3)，极小值为f(x2)，f(x4)．思考2 结合图象判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？答案存在，f(x)min＝f(a)，f(x)max＝f(x3)．思考3 函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值一定是某极值吗？答案不一定，也可能是区间端点的函数值．思考4 怎样确定函数f(x)在[a，b]上的最小值和最大值？答案比较极值与区间端点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值．梳理 (1)函数的最大(小)值的存在性一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条 的曲线，那么它必有最大值与最小值．(2)求函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤：①求函数y＝f(x)在(a，b)内的 ；②将函数y＝f(x)的 与 处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是 ，最小的一个是 ．连续不断极值端点各极值最小值最大值题型探究类型一　求函数的最值命题角度1　不含参数的函数求最值例1　求下列函数的最值：(1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]；解答f(x)＝2x3－12x，当x＝3时，f(x)取得最大值18.解答所以当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.反思与感悟求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点：(1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内；(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值；(3)比较极值与端点函数值大小，确定最值．跟踪训练1　求函数f(x)＝ex(3－x2)，x∈[2,5]的最值．解答∵f(x)＝3ex－exx2，∴f′(x)＝3ex－(exx2＋2exx)＝－ex(x2＋2x－3)＝－ex(x＋3)(x－1)．∵在区间[2,5]上，f′(x)＝－ex(x＋3)(x－1)0，∴函数f(x)在区间[2,5]上单调递减，∴当x＝2时，函数f(x)取得最大值f(2)＝－e2；当x＝5时，函数f(x)取得最小值f(5)＝－22e5.命题角度2　含参数的函数求最值例2　已知函数f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.718 28…为自然对数的底数．设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值．解答?当x(x∈(0,1])变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：x0(0，ln 2a)ln 2a(ln 2a,1)1g′(x)?－0＋?g(x)?极小值?g(x)min＝g(ln 2a)＝eln 2a－2aln 2a－b＝2a－2aln 2a－b.∴g(x)min＝g(1)＝e－2a－b，反思与感悟对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．跟踪训练2　已知a为常数，求函数f(x)＝－x3＋3ax(0≤x≤1)的最大值．解答f′(x)＝－3x2＋3a＝－3(x2－a)．若a≤0，则f′(x)≤0，函数f(x)单调递减，所以当x＝0时，f(x)有最大值f(0)＝0；类型二　由函数的最值求参数例3　已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．解答由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常函数，与题设矛盾．求导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．①当a0时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－1(－1,0)0(0,2)2f′(x)?＋0－?f(x)－7a＋bb－16a＋b由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，也是函数f(x)在[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝b＝3.又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3f(－1)，∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2.②当a0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值b，也是函数在[－1,2]上的最小值，∴f(0)＝b＝－29.又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29f(－1)，∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.反思与感悟已知函数在某区间