【步步高】高考数学 考前三个月抢分训练27 数列.doc

训练27　数 列 (推荐时间：75分钟) 1．数列{an}中，a3＝1，a1＋a2＋…＋an＝an＋1(n＝1,2,3，…)． (1)求a1，a2； (2)求数列{an}的前n项和Sn； (3)设bn＝log2Sn，存在数列{cn}使得cn·bn＋3·bn＋4＝1，试求数列{cn}的前n项和． 2．(·湖北)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5. (1)求数列{bn}的通项公式； (2)数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列是等比数列． 3．(·辽宁)已知等差数列{an}满足a2＝0，a6＋a8＝－10. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列的前n项和． 4.某商店投入81万元经销某种北京奥运会特许纪念品，经销时间共60天．为了获得更多的利润，商店将每天获得的利润投入到次日的经营中．市场调研表明，该商店在经销这一产品期间第n天的利润an＝(单位：万元，n∈N*)．记第n天的利润率bn＝，例如b3＝. (1)求b1，b2的值；(2)求第n天的利润率bn；(3)该商店在经销此纪念品期间，哪一天的利润率最大？并求该天的利润率． 5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，公比是正数的等比数列{bn}的前n项和为Tn，已知a1＝1，b1＝3，a2＋b2＝8，T3－S3＝15. (1)求{an}，{bn}的通项公式； (2)若数列{cn}满足a1cn＋a2cn－1＋…＋an－1c2＋anc1＝2n＋1－n－2对任意n∈N*都成立．求证：数列{cn}是等比数列． 6．设数列{an}，{bn}满足：a1＝4，a2＝， an＋1＝，bn＋1＝. (1)用an表示an＋1，并证明：n∈N*，an＞2； (2)证明：是等比数列； (3)设Sn是数列{an}的前n项和，当n≥2时，Sn与2是否有确定的大小关系？若有，加以证明；若没有，请说明理由． 1．解　(1)∵a1＝a2，a1＋a2＝a3， ∴2a1＝a3＝1，∴a1＝，a2＝. (2)∵Sn＝an＋1＝Sn＋1－Sn， ∴2Sn＝Sn＋1，＝2， ∴{Sn}是首项为S1＝a1＝，公比为2的等比数列． ∴Sn＝·2n－1＝2n－2. (3)∵bn＝log2Sn，Sn＝2n－2， ∴bn＝n－2，bn＋3＝n＋1，bn＋4＝n＋2， ∴cn·(n＋1)(n＋2)＝1， cn＝＝－. ∴c1＋c2＋…＋cn ＝(－)＋(－)＋…＋(－) ＝－＝. 2．(1)解　设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d， 依题意，得a－d＋a＋a＋d＝15，解得a＝5. 所以{bn}中的b3，b4，b5依次为7－d,10,18＋d. 依题意，有(7－d)(18＋d)＝100，解得d＝2或d＝－13(舍去)． 故{bn}的第3项为5，公比为2. 由b3＝b1·22，即5＝b1·22，解得b1＝. 所以{bn}是以为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为bn＝·2n－1＝5·2n－3. (2)证明　数列{bn}的前n项和Sn＝＝5·2n－2－， 即Sn＋＝5·2n－2. 所以S1＋＝，＝＝2. 因此是以为首项，2为公比的等比数列． 3．解　(1)设等差数列{an}的公差为d，由已知条件可得解得. 故数列{an}的通项公式为an＝2－n. (2)设数列的前n项和为Sn， 即Sn＝a1＋＋…＋，　　　① 故S1＝1，＝＋＋…＋.② 所以，当n＞1时，①－②得 ＝a1＋＋…＋－ ＝1－(＋＋…＋)－ ＝1－(1－)－＝. 所以Sn＝.当n＝1时也成立． 综上，数列的前n项和Sn＝. 4．解　(1)当n＝1时，b1＝；当n＝2时，b2＝. (2)当1≤n≤a1＝a2＝a3＝…＝an－1＝an＝1. ∴bn＝ ＝＝. 当21≤n≤60时， bn＝ ＝ ＝ ＝， ∴第n天的利润率bn＝ (3)当1≤n≤bn＝是递减数列，此时bn的最大值为b1＝； 当21≤n≤60时，bn＝＝ ≤＝(当且仅当n＝，即n＝40时，“＝” 成立)． 又∵＞，∴当n＝40时，(bn)max＝. ∴该商店经销此纪念品期间，第40天的利润率最大，且该天的利润率为. 5．(1)解　设数列{an}的公差为d， 数列{bn}的公比为q(q＞0)， 由题意得， 解得. ∴an＝n，bn＝3×2n－1. (2)证明　由cn＋2cn－1＋…＋(n－1)c2＋nc1＝2n＋1－n－2， 知cn－1＋2cn－2＋…＋(n－2)c2＋(n－1)c1 ＝2n－(n－1)－2(n≥2)， 两式相减：cn＋cn－1＋…＋c2＋c1＝2n－1(n≥2)， ∴cn－1＋cn－2＋…＋c2＋c1＝2n－1－1(n≥3)， ∴cn＝2n－1(n≥3)． 当n＝1,2时，c1＝1，c2＝2，适合上式， ∴cn