两角和与差的正弦、余弦正切公式一课一练1.doc

3.1 两角和与差的正弦、余弦正切公式 一、选择题： 1．sincos－cossin的值是( ) A．－ B． C．－sin D．sin 2．若sin（α+β）cosβ－cos（α+β）sinβ=0，则sin（α+2β）+sin（α－2β）等于( ) A．1 B．－1 C．0 D．±1 二、解答题 3．已知＜α＜，0＜β＜，cos（+α）=－，sin（+β）=，求sin（α+β）的值． 4．已知非零常数a、b满足=tan，求． 5．已知０＜α＜，sin（－α）=，求的值． 6．已知sin（α+β）=，sin（α－β）=，求的值． 7．已知A、B、C是△ABC的三个内角且lgsinA－lgsinB－lgcosC=lg2．试判断此三角形的形状特征． 8．化简． 9． 求值：（1）sin75°； （2）sin13°cos17°+cos13°sin17°． 10． 求sincos－sinsin的值． 11． 在足球比赛中，甲方边锋从乙方半场带球过人沿直线前进（如下图），试问甲方边锋在何处射门命中乙方球门的可能性最大？（设乙方球门两个端点分别为A、B） 12． 已知＜α＜β＜，cos（α－β）=，sin（α+β）=－，求sin2α的值． 13． 证明sin（α+β）sin（α－β）=sin2α－sin2β，并利用该式计算sin2 sin80°·sin40°的值． 14． 化简：［2sin50°+sin10°（1+tan10°）］·． 15． 已知函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2， （1）若x∈R，求函数的最大值和最小值； （2）若x∈［0，］，求函数的最大值和最小值． 1．B 2． C 3．解：∵＜α＜， ∴＜+α＜π． 又cos（+α）=－， ∴sin（+α）=． ∵0＜β＜， ∴＜+β＜π． 又sin（+β）=， ∴cos（+β）=－， ∴sin（α+β）=－sin［π+（α+β）］=－sin［（+α）+（+β）］ =－［sin（+α）cos（+β）+cos（+α）sin（+β）］ =－［×（－）－×］=． 4．分析：这道题看起来复杂，但是只要能从式子中整理出，用、的三角函数表示出来，再利用两角和与差的正、余弦公式计算即可． 解：由于，则． 整理，有=tan=． 5．分析：这道题的选题意图是考查两角和与差的正、余弦公式和诱导公式的综合运用以及变角技巧．解题过程中，需要注意到（+α）+（－α）=，并且（+α）－（－α）=2α． 解：cos（+α）=cos［－（－α）］=sin（－α）=， 又由于０＜α＜， 则0＜－α＜，＜+α＜． 所以cos（－α）=， sin． 因此 = =． 6．分析：当题中有异角、异名时，常需化角、化名，有时将单角转化为复角（和或差）．本题是将复角化成单角，正（余）切和正（余）弦常常互化． 欲求的值，需化切为弦，即，可再求sinαcosβ、cosαsinβ的值． 解：∵sin（α+β）=，∴sinαcosβ+cosαsinβ=． ① ∵sin（α－β）=，∴sinαcosβ－cosαsinβ=． ② 由（①+②）÷（①－②）得=－17． 7．分析：从角与角的关系探究三角函数间的关系；反之，利用三角函数间的关系去判断角的大小及关系，这是常用的基本方法．可以先化去对数符号，将对数式转化为有理式，然后再考察A、B、C的关系及大小，据此判明形状特征． 解：由于lgsinA－lgsinB－lgcosC=lg2， 可得lgsinA=lg2+lgsinB+lgcosC， 即lgsinA=lg2sinBcosC， sinA=2sinBcosC． 根据内角和定理，A+B+C=π， ∴A=π－（B+C）． ∴sin（B+C）=2sinBcosC， 即sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC． 移项化为sinCcosB－sinBcosC=0， 即sin（B－C）=0． ∴在△ABC中，C=B． ∴△ABC为等腰三角形． 8．分析：这道题要观察出7°+8°=15°，解题过程中还需要应用两角和与差的正弦、余弦公式． 解： = = = =2－． 9．解：（1）原式=sin（30°+45°）= sin30°cos45°+cos30°sin45°=·+·= ． （2）原式= sin（13°+17°）=sin30°=． 10．解：观察分析这些角的联系，会发现=－． sincos－sinsin =sincos－sin（－）sin =sincos－cossin =sin（－） =sin =． 11．解：设边锋为C，C到足球门AB所在的直线的距离为CO=x，OB=b，OA=a（a＞b＞0，a、b为定值），∠ACO=α，∠BCO=β，