中国高中数学奥林匹克（第二十一届全国中学生数学冬令营）试题.doc

中国数学奥林匹克 （第二十一届全国中学生数学冬令营） 第一天 福州 1月12日 上午8∶00～12∶30 每题21分 实数满足，求证： ． 证明 只需对任意，证明不等式成立即可． 记，则 ， ，， ， 把上面这n个等式相加，并利用可得 ． 由Cauchy 不等式可得 ， 所以 ． 二、正整数（可以有相同的）使得两两不相等．问：中最少有多少个不同的数？ 解 答案：中最少有46个互不相同的数． 由于45个互不相同的正整数两两比值至多有45×44＋1＝1981个，故中互不相同的数大于45． 下面构造一个例子，说明46是可以取到的． 设为46个互不相同的素数，构造如下： ， ， ， ， 这个正整数满足要求． 所以中最少有46个互不相同的数． 三、正整数m，n，k满足：，证明不定方程 和 中至少有一个有奇数解． 证明 首先我们证明如下一个 引理：不定方程 ① 或有奇数解，或有满足 ② 的偶数解，其中k是整数． 引理的证明 考虑如下表示 ， 则共有个表示，因此存在整数，，满足，且 ， 这表明 ， ③ 这里。由此可得 ， 故，因为，所以 ， 于是．因为m为奇数，，显然没有整数解． 若，则是方程①满足②的解． 若，则是方程①满足②的解． 若，则． 首先假设3m，若，且，则 ④ 是方程①满足②的解．若，则 ⑤ 是方程①满足②的解． 现在假设，则公式④和⑤仍然给出方程①的整数解．若方程①有偶数解，则 ． 因为的奇偶性不同，所以，都为奇数． 若，则是方程①的一奇数解． 若，则是方程①的一奇数解． （4），则． 当5m时，若，或，则 ⑥ 是方程①满足②的解． 若，或，则 ⑦ 是方程①满足②的解． 当，则公式⑥和⑦仍然给出方程①的整数解．若方程①有偶数解，则 ， 可得 ． 若 ，或者 ，或者 ，则是方程①的一奇数解． 若 ，或，则 是方程①的一奇数解． 引理证毕． 由引理，若方程①没有奇数解，则它有一个满足②的偶数解．令，考虑二次方程 ， ⑧ 则 ， 这表明方程⑧至少有一个整数根，即 ， ⑨ 上式表明必为奇数．将⑨乘以4n后配方得 ， 这表明方程有奇数解． 中国数学奥林匹克 （第二十一届全国中学生数学冬令营） 第二天 福州 1月13日 上午8∶00～12∶30 每题21分 四、在直角三角形ABC中，，△ABC 的内切圆O分 别与边BC，CA， AB 相切于点D，E，F，连接AD，与内切圆O相交于点P，连接BP，CP，若，求证：． 证明 设AE = AF = x，BD＝BF＝y，CD＝CE＝z，AP＝m，PD＝n． 因为，所以． 延长AD至Q，使得，连接BQ，CQ，则P，B，Q，C四点共圆，令DQ＝l，则由相交弦定理和切割线定理可得 ， ① ． ② 因为∽，所以，故 ． ③ 在Rt △ACD和Rt △ACB中，由勾股定理得 ， ④ ． ⑤ ③－②，得 ， ⑥ ①÷⑥，得 ， 所以 ， ⑦ ②×⑦，结合④，得 ， 整理得 ． ⑧ 又⑤式可写为 ， ⑨ 由⑧，⑨得 ． ⑩ 又⑤式还可写为 ， 把上式代入⑩，消去