全国初中数学竞赛辅导（初1）第讲 含绝对值的方程及不等式.doc

第七讲 含绝对值的方程及不等式 　　从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离．但除零以外，任一个绝对值都是表示两个不同数的绝对值．即一个数与它相反数的绝对值是一样的．由于这个性质，所以含有绝对值的方程与不等式的求解过程又出现了一些新特点．本讲主要介绍方程与不等式中含有绝对值的处理方法． 　　a的绝对值记作｜a｜，指的是由a所唯一确定的非负实数： 　　含绝对值的不等式的性质： 　 　　(2)a｜-｜b｜≤｜a+b｜≤｜a｜+｜b｜； 　　(3)a｜-｜b｜≤｜a-b｜≤｜a｜+｜b｜． 　　由于绝对值的定义，所以含有绝对值的代数式无法进行统一的代数运算．通常的手法是分别按照绝对值符号内的代数式取值的正、负情况，脱去绝时值符号，转化为不含绝对值的代数式进行运算，即含有绝对值的方程与不等式的求解，常用分类讨论法．在进行分类讨论时，要注意所划分的类别之间应该不重、不漏．下面结合例题予以分析． 　　1 解方程｜x-2｜+｜2x+1｜=7． 　　 掉绝对值符号再求解． 　　(1)当x≥2时，原方程化为 (x-2)+(2x+1)=7， 　　　 -(x-2)+(2x+1)=7． 　　 　　　 -(x-2)-(2x+1)=7 　　x的某个范围内求解方程时，若求出的未知数的值不属于此范围内，则这样的解不是方程的解，应舍去． 　　2 求方程｜x-｜2x+1｜｜=3的不同的解的个数． 　　 ｜x-(2x+1)｜=3， 　　 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　｜1+x=3， 　　 　　　　　　　　　　　　　　　x=2x=-4． 　　　 　 x+(2x+1)｜=3， 即　　　　　　　　　　　　　　 ｜3x+1=3， 　　的个数为2． 　　3 若关于x的方程｜｜x-2｜-1｜=a有三个整数解．则a的值是多少？ 　　a＜0，原方程无解，所以a≥0．由绝对值的定义可知 ｜x-2｜-1=±a， 　　 ｜x-2=1±a． 　　(1)a＞1，则｜x-2｜=1-a＜0，无解．｜x-2｜=1＋a，x只能有两个解x=3+a和x=1-a． 　　(2)0≤a≤1，则由｜x-2｜=1+a，求得 x=1-a或x=3+a； 　　x-2｜=1-a，求得 x=1+a或x=3-a． 　　x=3+a，3-a，1+a，1-a，为使方程有三个整数解，a必为整数，所以a只能取0或1．当a=0时，原方程的解为x=3，1，只有两个解，与题设不符，所以a≠0．当a=1时，原方程的解为x=4，0，2，有三个解． 　　a=1． 　　4 已知方程｜x｜=ax+1有一负根，且无正根，求a的取值范围． 　　x为方程的负根，则-x=ax+1，即 所以应有a＞-1．反之，a＞-1时，原方程有负根． 　　x，则x=ax＋1，即 所以a＜1．反之，a＜1时，原方程有正根． 　　a≥1． 　　5 设 　　x+y． 　　 　　两个非负实数和为零时，这两个实数必须都为零． 　　 　 　　　　　　　 把③代入①得 解之得y=-3，所以x=4．故有 x+y=4-3=1． 　　6 解方程组 　　x-y=1或x-y=-1，即 x=y+1或x=y-1． 　　与②结合有下面两个方程组 　　　　　　　　　　 　　(Ⅰ)：把x=y+1代入｜x｜+2｜y｜=3得 ｜y+1｜+2｜y｜=3． 组(Ⅰ)的解为 　　(Ⅱ)有 　　故原方程组的解为 　　7 解方程组 　　 x+y=｜x-y｜+2． 因为｜x-y｜≥0，所以x+y＞0，所以｜x+y｜=x+y． ③ 　　把③代入②有 x+y=x+2， 所以y=2．将之代入①有｜x-2｜=x，所以 x-2=x， ④ 　　 x-2=-x． ⑤ 　　 x=1．故 为原方程组的解． 　　x+y≥0和x+y＜0两种情形，把方程②分成两个不同的方程x+y=x+2和-(x+y)=x+2，对方程①也做类似处理的话，将很麻烦．上面的解法充分利用了绝对值的定义和性质，从方程①中发现必有x+y＞0，因而可以立刻消去方程②中的绝对值符号，从而简化了解题过程． 　　8 解不等式｜x-5｜-｜2x+3｜＜1． 　　 　　 x≤5，x＞5． 　　 -(x-5)-[-(2x+3)]1， -(x-5)-(2x+3)＜1， 　　(3)x＞5时，原不等式化为 x-5-(2x+3)＜1， 　　x＞-9，结合x＞5，故x＞5是原不等式的解． 　　 　　9 解不等式1≤｜3x-5｜≤2． 　　 　　3x-5｜≥1： 　　　　 　 　　　　 　　3x-5｜≤2： 　　　 　 　　　　 　　所以①与②的公共解应为 　　　　　　　　　　　 　　 10 解不等式｜｜x+3｜-｜x-3｜｜＞3． 　　x≤-3，-3＜x≤3，x＞3三段来讨论，于是原不等式化为如下三个不等式组． 　　　 　　　 　　 　　 x≤-3．