全国初中数学竞赛辅导（初1）第讲 方程组的解法.doc

第五讲 方程组的解法 　　(二元以上)一次方程组的求解，主要是通过同解变形进行消元，最终转化为一元一次方程来解决．所以，解方程组的基本思想是消元，主要的消元方法有代入消元和加减消元两种，下面结合例题予以介绍． 　　1 解方程组 　 　　 　　x=6+4y，代入①化简得 11y-4z=-19． ④ 　　由③得 2y+3z=4． ⑤ 　　 3+⑤×4得 33y+8y=-57+16， 　　 y=-1． 　　y=-1代入⑤，得z=2．将y=-1代入②，得x=2．所以 为原方程组的解． 　　x时，采用了代入消元法；解④，⑤组成的方程组时，若用代入法消元，无论消y，还是消z，都会出现分数系数，计算较繁，而利用两个方程中z的系数是一正一负，且系数的绝对值较小，采用加减消元法较简单． 　　解方程组消元时，是使用代入消元，还是使用加减消元，要根据方程的具体特点而定，灵活地采用各种方法与技巧，使解法简捷明快． 　　2 解方程组 　　1 由①，④消x得 　　由⑥，⑦消元，得 　　解之得 　　y=2代入①得x=1．将z=3代入③得u=4．所以 　　2 由原方程组得 　　所以 x=5-2y=5-2(8-2z) =-11+4z=-11+4(11-2u) =33-8u=33-8(6-2x) =-15+16x， 　　 x=-15+16x，解之得x=1．将x=1代入⑧得u=4．将u=4代入⑦得z=3．将z=3代入⑥得y=2．所以 为原方程组的解． 　　3 ①+②+③+④得 x+y+z+u=10， ⑤ 　　　　-(①+③)得 y+u=6， ⑥ 　　　　2-④得 4y-u=4， ⑦ 　　 +⑦得y=2．以下略． 　　2很好地利用了本题方程组的特点，解法简捷、流畅． 　　3 解方程组 　　 　　　　 +②得 x+u=3， ⑥ 　　　　 +③得 y+v=5， ⑦ 　　　　 +④得 z+x=7， ⑧ 　　 +⑤得 u+y=9． ⑨ 　　 +②+③+④+⑤得 x+y+z+u+v=15．⑩ 　　 -⑥-⑦得z=7，把z=7代入⑧得x=0，把x=0代入⑥得u=3，把u=3代入⑨得y=6，把y=6代入⑦得v=-1．所以 为原方程组的解． 　　4 解方程组 　　1 ①×2+②得 　　　　由③得 　　　　代入④得 　　　 　　　 　　　 　　 　　为原方程组的解． 　 　　　 　　　 为原方程组的解． 　　1称为整体处理法，即从整体上进行加减消元或代入消 为换元法，也就是干脆引入一个新的辅助元来代替原方程组中的“整体元”，从而简化方程组的求解过程． 　　5 已知 　　　 　　　　　 　　x，y，z的值之后，代入所求的代数式计算．但本题中方程组是由三个未知数两个方程组成的，因此无法求出x，y，z的确定有限解，但我们可以利用加减消元法将原方程组变形． 　　-②消去x得 　　3+②消去y得 　　5+②×3消去z得 　 　　　　 　　6 已知关于x，y的方程组 分别求出当a为何值时，方程组(1)有唯一一组解；(2)无解；(3)有无穷多组解． 　　ax=b的形式进行讨论．但必须特别注意，消元时，若用含有字母的式子去乘或者去除方程的两边时，这个式子的值不能等于零． 　　 2y=(1+a)-ax， ③ 　　将③代入②得 (a-2)(a+1)x=(a-2)(a+2)． ④ 　　(1)(a-2)(a+1)≠0，即a≠2且a≠-1时，方程④有 　　 　 　　因而原方程组有唯一一组解． 　　(2)(a-2)(a+1)=0且(a-2)(a+2)≠0时，即a=-1时，方程④无解，因此原方程组无解． 　　(3)(a-2)(a+1)=0且(a-2)(a+2)=0时，即a=2时，方程④有无穷多个解，因此原方程组有无穷多组解． 　　7 已知关于x，y的二元一次方程 (a-1)x+(a+2)y+5-2a=0， 　　a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解． 　　1 根据题意，可分别令a=1，a=-2代入原方程得到一个方程组 　　 　　　 　　x=3，y=-1代入原方程得　　 (a-1)3+(a+2)·(-1)+5-2a=0． 　　a值 都是原方程的解． 　　a=1为的是使方程中(a-1)x=0，方程无x项，可直接求出y值；取a=-2的道理类似． 　　2 可将原方程变形为 a(x+y-2)-(x-2y-5)=0． 　　a无关，故有 　　　　　 　　8 甲、乙两人解方程组 　　　 原方程的解． 　　a，所以甲所得到的解 4×(-3)-b×(-1)=-2． ③ 　　 a5+5×4=13． ④ 　　解由③，④联立的方程组得 　　所以原方程组应为 　　 　　 练习五 　　1 　　 　　　 　　2x1，x2，x3，x4，x5满足方程组 　　　　　 3x4+2x5的值． 　　33x2+2x-5写成