数学：第三章 第1-2节《不等关系；一元二次不等式的解法》知识精讲（北师大版必修5）（理）.doc

高二数学第三章 第1-2节 不等关系；一元二次不等式的解法 理北师大版必修5 【本讲教育信息】 一、教学内容： 不等关系及一元二次不等式的解法 二、教学目标： （1）会比较两实数的大小及其实际应用，理解不等关系的传递性及不等式的性质。 （2）熟练的掌握一元二次不等式的图像解法。了解一元二次不等式可以转化为一次不等式组 （3）理解利用数形结合的数学思想、等价转化、分类讨论的数学思想等解决二次不等式的问题。 三、知识要点分析： 1. 两个实数a，b比较大小的方法—差值法、商值法。 2. 不等式的性质：（1）若ab，bc，则ac， （2） 若ab，则a+cb+c，（3）若ab，c0则acbc （4）ab，cda+cb+d ，（5）ab0，cd0， （6）ab0，n. 3. 一元二次不等式的解法。（ 基本步骤：（1）若二次项系数a0转化为－a0. （2）求方程的解（3）画出相应的函数图像，写出解集。其解集情形如图： 图（1）：的解集是， 图（2）：是{x|x}， 图（3）：的解集是。 4. 一元高次不等式、分式不等式的解法。 （1）一元高次不等式解法——穿针引线法。 （2）分式不等式解法转化为整式不等式解法。 【典型例题】 考点一：两实数大小比较及实际应用。 例1、（1）设mn，，m，n，试比较a、b的大小。 （2）甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走。 假设，问甲乙两人谁先到指定的地点？ 【思路分析】（1）作差比较。（2）用表示甲乙两人到达指定地点的时间，用m，n表示。然后比较大小 解：（1） = ==[ 下面对lgx的取值进行讨论 （i）当lgx=1时，显然a=b （ii）当lgx1时，。又mn 故a－b0即ab （iii）当0lgx1时，由mn ， 故ab 综合上述总有成立 （2）设从出发地点到指定地点的距离是S，甲乙两人走完这段路程的时间分别是 由题意知： 其中m，n，S都是正数，故，即甲比乙先到达指定地点。 【说明】 也可以作商比较。 考点二：一元二次不等式（含有参数的一元二次不等式）的解法。 例2、（1）求不等式组的解集M，且当关于x的不等式的解集是N满足时，求实数m的范围。 （2）解关于x的不等式： 【思路分析】（1）先求不等式组中的两个一元二次不等式的解集，再求交集即得M，利用建立关于m的不等式. （2）先讨论方程的判别式的符号，再求不等式的解集。 解：（1）不等式的解集是（1，3），不等式的解集是（2，4） 故M=（1，3）（2，4）=（2，3）. 设，由已知得：当2x3时，， 故 （2），下面针对的符号讨论如下： （i）时，方程 此时原不等式的解集是 （ii）时，原不等式的解集是 （iii）时，原不等式的解集是R. 综合上述知：当，当m=原不等式的解集是{x|x}，当m或时原不等式的解集是。 考点三：可化为一元二次不等式的分式不等式及一元高次不等式的解法。 例3、解下列不等式 （1） （2） 【思路分析】（1）把分式不等式转化为整式不等式，针对a的取值讨论其解集。 （2）一元高次不等式用穿针引线法求解集，先化简不等式为：，然后在数轴上依次标出实数0，－1，3，把数轴分成4个区间，再判断f（x）=x（x+1）（x－3）在各个区间的符号（从右至左正负号相间出现）与不等号相同的区间即为不等式的解集。但要注意。 解：（1）原不等式化为：，（，设 （i），此时原不等式的解集是。 （ii）若时，下面比较的大小 若 若 若 此时不等式的解集是（ （2）当，原不等式可化为 x（x+1）】 ，在用穿针引线法解高次不等式时要将每一个因式x的系数化为正，若在因式中出现偶次幂时要注意：当时将不等式化简，最后在确定解集时若包含x=a，要除去（如本题）。若出现奇次幂时，将其视为x的一次因式即可。 考点四：一元二次不等式的简单应用。 例4、已知向量 ，若的夹角是小于90°的角，求实数x的取值范围。 【思路分析】 的夹角是锐角，即 ，由此建立关于x的不等式，然后解含有参数m的不等式。 解：由已知得 得：（ （*） （*）可化为： ，整理得： （#） 对不等式（#）中的参数m讨论如下： （i）若m=0时，由（#）得：x0即此时所求的x的取值范围是（－ （ii）若m0时，不等式（#）化为 解此不等式得x0或x 即此时所求x的范围是（ （iii）解此不等式得： 即此时所求的x的取值范围是 综合上述得：当m=0时x的取值范围是 （－，当m0时所求x的取值范围是 ，当m0时所求x的取值范围是 （。 例5、有一批影碟机（VCD）】元把 表示成关于x的函数，然后比较的大小 。 解：假设某单位购