福建省高考数学一轮经典例题 不等式性质 理.doc

典型例题一 例1 比较与的大小，其中． 解： ， ， ， ， ∴ ． 说明：由例1可以看出实数比较大小的依据是：①； ②；③． 典型例题二 例2 比较与的大小，其中 解： ， ， ， ， ， ∴ 当时，； 当时， 说明：两个实数比较大小，通常用作差法来进行，其一般步骤是：第一步：作差；第二步：变形，常采用配方，因式分解等恒等变形手段；第三步：定号，贵州省是能确定是大于0，还是等于0，还是小于0．最后得结论．概括为“三步，—结论”，这里的“变形”一步最为关键． 典型例题三 例3 ，比较与（）的大小． 分析：直接作差需要将与（）展开，过程复杂，式子冗长，可否考虑根据两个式子特点，予以变形，再作差． 解：∵=（） ， ， ∴ ． 则有时，（）恒成立． 说明：有的确问题直接作差不容易判断其符号，这时可根据两式的特点考虑先变形，到比较易于判断符号时，再作差，予以比较，如此例就是先变形后，再作差． 典型例题四 例4 设，比较与的大小． 解：作差， 1）当时，即， ∴ ； 2）当，即时，， ∴； 3）当但，即或时，， ∴． 说明：如本题作差，变形，变形到最简形式时，由于式中含有字母，不能定号，必须对字母根据式子具体特点分类讨论才能定号．此时要注意分类合理恰当． 典型例题五 例5 比较与的大小 分析：两个数是幂的形式，比较大小一般采用作商法。 解： 说明：求商法比大小的变形要围绕与1比大小进行． 典型例题六 例6　设，且，比较：与的大小。 分析：比较大小一般方法是求差法或求商法，利用不等式的性质进行变形，然后确定大小。 解： 当时，， 当时， 即， 又， 说明：求商法的基本步骤是：①求商，②变形，③与1比大小从而确定两个数的大小. 典型例题七 例7 实数满足条件：①；②；③，则有( ) A．　　　　 B． C．　　　　 D． （天津市南开中学期末试题） 分析：先由条件②③分析出与的关系，根据条件利用①用数轴数形结合比出大小． 解：∵，∴与同侧 ∵，∴与异侧 ∵ ∴把标在数轴上，只有下面一种情况 由此得出，∴此题选D． 说明：比较大小时可以借助于数轴，利用推出的一些结论在数轴上标出它们的相对位置，这样容易看出几个数之间的大小关系，尤其是比较的个数较多时适用． 典型例题八 例8　已知①；②，求：的取值范围． 分析：此题是给代数式的字母的范围，求另外代数式的范围．分为两步来进行：(1)利用待定系数法将代数式用和表示．(2)利用不等式性质及题目条件确定的范围． 解：设： 由①+②×2得： ：． 说明：此题的一种典型错误做法，如下： ，即： ： 此解法的错误原因是因为与是两个相互联系，相互制约的量，而不是各自独立的，当取到最大值或最小值时，不一定能取到最值，所以用以上方法可能扩大变量的范围． 避免出错的方法是通过待定系数法“整体代入”，见解题过程． 典型例题九 例9　判断下列各命题的真假，并说明理由． （1）若，则 （2）若，则 （3）若，则 （4）若，则 （5）若，则 （6）若，则 分析：利用不等式的性质来判断命题的真假． 解：（1），是真命题． （2）可用赋值法：，有，是假命题． 也可这样说明：， ∵　，只能确定， 但的符号无法确定，从而的符号确定不了，所以无法得到，实际上有： （3）与（2）类似，由，从而是假命题． （4）取特殊值： 有，∴　是假命题． 定理3的推论是同向不等式可相加，但同向不等式相减不一定成立．只有异向不等式可相减，即 （5），　∴是真命题． （6）定理4成立的条件为必须是正数． 举反例： ，则有 说明：在利用不等式的性质解题时，一定要注意性质定理成立的条件．要说明一个命题是假命题可通过举反例． 典型例题十 例10　求证： 分析：把已知的大小关系转化为差数的正负，再利用不等式的性质完成推理． 证明：利用不等式的性质，得 典型例题十一 例11　若，则下面不等式中成立的一个是（　　　） （A）　　　　　（B） （C）　　　　　　　　（D） 解：由不等式的性质知：（A）、（B）、（C）成立的条件都不充分，所以选（D），其实（D）　正是异向不等式相减的结果． 说明：本的解法都是不等式性质的基本应用，对于不等式的基本性质要逐条掌握准确，以便灵活应用． 典型例题十二 例12　若，则下面各式中恒成立的是（　　　）． （A）　　　　（B） （C）　　　　　（D） 分析　本题考查是否能正确使用不等式的性质来进行变形，应看到，已知条件中含有两个内容，即，和，根据不等式的性质，可得，，继而得到且，故，因此选A． 典型例题十三 例13 若，则一定成立的不等式是（　　） A． B． C． D． 分析：A错，当时有；同样B错；D没有考虑各数取零和正负号的关系，所以也不对． 故选C，