《算法设计与分析研讨》第07章.ppt

7.1 一般方法和基本要素 7.2 每对结点间的最短路径 7.3 矩阵连乘 7.4 最长公共子序列 7.5 最优二叉有哪些信誉好的足球投注网站树 7.6 0/1背包 7.7 流水作业调度 ; 20世纪50年代初美国数学家R.E.Bellman等人在研究多阶段决策过程的优化问题时，提出了著名的最优化原理(principle of optimality)，把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划。 动态规划(dynamic programming)是运筹学的一个分支，是求解决策过程(decision process)最优化的数学方法。 应用领域：动态规划问世以来，在经济管理、生产调度、工程技术和最优控制等方面得到了广泛的应用。例如最短路线、库存管理、资源分配、设备更新、排序、装载等问题，用动态规划方法比用其它方法求解更为方便。 ;动态规划法的实质也是将较大问题分解为较小的同类子问题，这一点上它与分治法和贪心法类似。但动态规划法有自己的特点。分治法的子问题相互独立，相同的子问题被重复计算，动态规划法解决这种子问题重叠现象。贪心法要求针对问题设计最优量度标准，但这在很多情况下并不容易。动态规划法利用最优子结构，自底向上从子问题的最优解逐步构造出整个问题的最优解，动态规划则可以处理不具备贪心准则的问题。;7.1.1 一般方法 ;利用动态规划求解问题的前提： 1) 证明问题满足最优性原理 如果对所求解问题证明满足最优性原理，则说明用动态规划方法有可能解决该问题 2) 获得问题状态的递推关系式 获得各阶段间的递推关系式是解决问题的关键。 ;设计一个动态规划算法，通常可以按以下几个步骤进行： （1）刻画最优解的结构特性； （2）递归定义最优解值； （3）以自底向上方式计算最优解值； （4）根据计算得到的信息构造一个最优解。 其中，第（1）至（3）步是动态规划算法的基本步骤。最优解值是最优解的目标函数的值。 ;7.1.2 基本要素 ;7.1.3? 多段图问题; ; 多段图问题的多阶段决策过程：生成从s到t的最小成本路径是在k-2个阶段（除s和t外）进行某种决策的过程：从s开始，第i次决策决定Vi+1(1≤i≤k-2)中的哪个结点在从s到t的最短路径上。 1.最优性原理对???段图问题成立 假设s,v2,v3,…,vk-1,t是一条由s到t的最短路径。 ● 初始状态：s ● 初始决策：(s,v2)， v2∈V2 ● 初始决策产生的状态：v2 则，其余的决策：v3,...,vk-1相对于v2将构成一个最优决策序列——最优性原理成立。 反证：若不然，设v2,q3,…,qk-1,t是一条由v2到t的更短的路径，则s, v2,q3,…,qk-1,t将是比s,v2,v3,…,vk-1,t更短的从s到t的路径。与假设矛盾。 故，最优性原理成立;2. 向前处理策略求解 设 P(i,j)是一条从Vi中的结点j到汇点t的最小成本路径， cost(i,j)是这条路径的成本。 1) 向前递推式 cost(k,t)=0 2) 递推过程 ★ 第k-1段 c(j,t) j,t∈E COST(k-1,j) = ∞;;1;★各递推结果 第4段 COST(4,9) = c(9,12) = 4 COST(4,10) = c(10,12) = 2 COST(4,11) = c(11,12) = 5 第3段 COST(3,6) = min{6+COST(4,9),5+COST(4,10)} = 7 COST(3,7) = min{4+COST(4,9),3+COST(4,10)} = 5