2003-2012年考研数学二答案(完整版).doc

2012年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题解析 一、选择题18小题每小题4分共32分下列每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求的请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. （1）【答案】：（C） 【解析】：，所以为垂直渐近线 ，所以为水平渐近线，没有斜渐近线，总共两条渐近线，选（C）。 （2）【答案】：（C） 【解析】： 所以，故选（C）。 （3）【答案】：(B) 【解析】：由于，是单调递增的，可知当数列有界时，收敛，也即是存在的，此时有，也即收敛。 反之，收敛，却不一定有界，例如令，显然有收敛，但是无界的。故数列有界是数列收敛的充分非必要条件，选(B)。 （4）【答案】：(D) 【解析】：由于当时，可知，也即，可知。 又由于，对做变量代换得， 故由于当时，可知，也即，可知。 综上所述有，故选(D). （5）【答案】：(D) 【解析】：，表示函数关于变量是单调递增的，关于变量是单调递减的。因此，当时，必有，故选D （6）【答案】：（D） 【解析】：区域D如图中阴影部分所示，为了便于讨论，再引入曲线将区域分为四部分。由于关于轴对称，可知在上关于的奇函数积分为零，故；又由于关于轴对称，可知在上关于的奇函数为零，故。 因此，故选（D）。 （7）【答案】：（C） 【解析】：由于，可知线性相关。故选（C）。 （8）【答案】：（），则， 故 故选（）二、填空题：9(14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. 【解析】：将代入原方程可得 方程两端对求导，有，将、代入可得，所以 再次求导得，再将、、代入可得。 （10）【答案】： 【解析】：原式 （11）【答案】：. 【解析】：因为，所以 （12）【答案】： 【解析】：为一阶线性微分方程，所以 又因为时，解得，故. （13）【答案】： 【解析】：将代入曲率计算公式，有 整理有，解得，又，所以，这时， 故该点坐标为 （14）【答案】： 【解析】：，其中，可知。 三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.，即 （2）,当时，由 又因为，当时，与等价，故，即 （16）【解析】：，先求函数的驻点：令 ， 解得驻点为.又 对点，有 所以，，故在点处取得极大值. 对点，有 所以，，故在点处取得极小值. （17） 【解析】： 如图设切点坐标为，斜率为，所以设切线方程为，又因为该切线过，所以，故切线方程为： 切线与轴交点为 （1） （2） （18） 【解析】： 令得，原式。 （19）【解析】： 1）特征方程为，特征根为，齐次微分方程的通解为.再由得，可知。 故 2）曲线方程为，则， 令得。为了说明是唯一的解，我们来讨论在和时的符号。 当时，，可知；当时，，可知。可知是唯一的解。 同时，由上述讨论可知曲线在左右两边的凹凸性相反，可知点是曲线唯一的拐点。 （20）【解析】：令，可得 当时，有，，所以，故。而，即得，也即。 当时，有，，所以，故。而，即得，也即。 当时，显然有。 可知， （21）【解析】： (1)由题意得：令，则，再由，由零点定理得在至少存在一个零点，也即方程在区间内至少有一个实根。 又由于在上是单调的，可知在内最多只有一个零点。故方程在区间内有且仅有一个实根。 （2）由于，可知（ⅰ）， 进而有，可知（ⅱ）， 比较（ⅰ）式与（ⅱ）式可知，故单调。 又由于，也即是有界的。则由单调有界收敛定理可知收敛，假设，可知。 当时，。 （22）【解析】：（Ⅰ） （Ⅱ） 可知当要使得原线性方程组有无穷多解，则有及，可知。 此时，原线性方程组增广矩阵为，进一步化为行最简形得 可知导出组的基础解系为，非齐次方程的特解为，故其通解为 线性方程组存在2个不同的解，有. 即：，得或-1.当时, . （23）【解析】：1）由可得， ，可知。 2） 令矩阵 解得矩阵的特征值为： 对于得对应的特征向量为： 对于得对应的特征向量为： 对于得对应的特征向量为： 将单位化可得： ，， 令可将原二次型化为。 ? 2010考研数学二真题及答案 BACD BDAD 10.y=2x 11. 13.3cm/s 14. 3 三解答题 15. 列表讨论如下： x -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,+) - 0 + 0 - 0 + 极小 极大 极小 16. 17 . 18解： 19解： 20. 21. 22. 23. 2009年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题及答案解析 一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母