向量法与三角形的心.doc

向量与三角形的“心” 向量是“数”与“形”结合的桥梁，它与数学各个方面有着紧密联系，是解决数学问题的有力工具。本文通过几个事例来探究向量与三角形的“心”（重心、垂心、内心、外心）的交汇。 重心 在△ABC中，AD为BC边上的中线，根据向量加法的平行四边形法则，可得。这说明所在的直线过BC的中点D，从而一定通过△ABC的重心。另外，G为△ABC的重心的充要条件是或，（其中O为△ABC所在平面内任意一点），这也是两个常用的结论。 例1．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是△ABC的外心，动点P满足，则P的轨迹一定通过△ABC的 （ ） A．内心 B．垂心 C．外心 D．重心 思路分析：取AB边的中点M，则， 由可得 ，所以 ，即点P的轨迹为三角形中AB边上的中线，故选D。 点评：本题当时，，此时点P为线段AB中点。也可当时，则P的轨迹也通过△ABC的重心。但是若取的三角形以C为直角顶点，则点P过点C为垂心，得出了意想不到的错误，因而解题过程中也应注意解题方法的优化。 二、垂心 在△ABC中，由向量的数量积公式，可得，这说明所在直线是BC边上的高所在直线，从而它一定通过△ABC的垂心。 例2（2005年全国卷）点O是△ABC所在平面内的一点，满足 ，则点O是△ABC的 （ ） A．三个内角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条高的交点 思路分析：由，得，所以，即。同理。因此O是△ABC三条高的交点，故选D。 点评：解题中应注意实数运算、向量运算相同与不同之处，由不能推得（因为方向不相同），因此学生不要生搬硬套地把代数运算照搬过来。 三、内心 在△ABC中，由两单位向量相加，可得所在直线是∠A的平分线所在的直线，从而一定经过△ABC的内心。 例3（2003年全国卷）O是平面上定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P的轨迹一定通过△ABC的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 思路分析：设为上的单位向量，为上的单位向量，则的方向为∠BAC的角平分线的方向，又， 所以与的方向相同，而，所以点P在上移动，故P的轨迹一定是通过△ABC的内心，选B。 点评：本题要求学生掌握为上的单位向量，以及菱形的对角线平分角等知识。 例4．（2006年陕西卷理）已知非零向量与满足且，则△ABC为 （ ） A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．等边三角形 思路分析： 1．根据四个选择支的特点：本题可采用验证法来处理，不妨先验证等边三角形，刚好适合题意，则可同时排除其他三个选择支，故选D。 2．由于所在直线穿过△ABC的内心，则由知，（等腰三角形的三线合一定理）；又，所以，即△ABC为等边三角形，故选D。 点评：思路1抓住了该题选择支的特点而采用了验证法，是处理本题的巧妙方法；思路2要求学生掌握是与同向的单位向量，并能领会向量表达式与三角形的内心的关系。 四、外心 （人教版第一册（下）第151页第6题）已知点O是△ABC所在平面内一点，求证：△ABC是正三角形。由已知条件可知，△ABC的重心、外心都是点O，因此△ABC为正三角形。 例5．（2005年全国卷）△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数m=_____________ 思路分析：1．特殊法：设△ABC为直角三角形，则O为斜边BC中点，H与A重合，所以，即m=1。 2．由，又，因此，即，所以 ， 又，且，因此m=1。 3．利用特殊法推得m=1，下面来证明，即。设BC中点为D，连线AD、OH且，且G为重心，因此，又，则AH∥OD，可得△AHG∽△DOG，所以。 点评：思路1利用特殊法；思路2利用实数与向量的乘法进行运算；思路3对特殊性进行证明，运用了△ABC的外心、垂心、重心三心共线，再利用三角形相似，巧妙地证明结论。 - 4 - A O G H D B C