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应用题的解题思路 1．行程问题 1 甲、乙两船在静水中的航速相同，其中甲船在河流中航行，顺水航行S千米后，立即返回原处．乙船在静水中航行S千米后也立即返回原处．问甲、乙两船所用的航行时间谁多？例 解 设静水航速为V1，水速为V2，(V1＞V2)则有(单位：速度(千米/时)时间(小时)路程(千米) 表中隐含的关系式是 v1t3=S． ③ 则 甲船所需时间 t1+t2=S/(v1+v2)S／(v1－v2) 乙船所需时间t3+t3=2S/v1， ⑤ ∵S＞0，v1＞0，v1＞v2， 答：甲船所用的时间多． 2．工程问题 例2 某工程队筑一段长200米的公路，实际施工时，每天比原计划多修5米，结果提前2天完成任务，问修筑这段公路实际用了多少天？ 解 依题意，可知 根据基本关系式，工作效率×时间=工作总量 解得 y1=10， y2=－8(舍去) 答 略． 另：在工程问题中，可以设总工程量为1，此题列成下表： 根据效率差的关系列方程 1/(y－2)－1/y=5/200(余路) 例3 一轮船从重庆到上海要航行a昼夜，上海到重庆要航行b昼夜．问木板从重庆到上海要飘流几昼夜？ 解 设两城市间的路程为1，静水航行这段路程要x昼夜，水流经这段路程要y昼夜，则 ②一①变形得y=2ab/(b－a)答：略 下列捐款问题，也可视工程问题来解 例4 为了帮助山区儿童上学，甲班捐款200元，乙班30名学生捐款200元、两班人均捐款比甲班多1元，问甲班有多少人参加捐款？ 解 依题意，有 ∵y=y1+1 ∴ 400/(30＋x1)=200/x1+1． 解得 x1=50，或x1=120(舍)(答：略)． 3．百分率问题 例5 某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用作购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行．若存款的利率不变，到期后得本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率． 解设一年定期利率为x，则有 依题意得［2000(1+x)－1000］(1+x)=1320． 此类题中，有本金(a)、利率(x)、利息(b)、期数(n)本利和(本金与利息之和)(M)五个量，其基本关系式是利息计算公式b=a·x，另有两个公式： M=a＋axn=a(1+ nx) ① M=a(1+ x)n ② ①式是本金固定不变时求本利和的公式， ②式是本金变化时(即到期后将应得利息加入本金)，求本利和公式(又称复利公式)，两者的用法是不同的，如某人存款100元，年利率是10%，三年后所得本金与利息和用公式①计算： 100(1+3·10%)=130元，如果他在三年中每年将利息取出再加入本金存入，则用公式②计算 100(1+10％)· 3=133.1元．上例是公式②的应用，但略有变化，因在第一年后的本利和中取出了1000元，即利率的比较数(标准数)，由原来的2000(1+x)变为了(2000(1+x)－1000)．解此类问题，要特别注意比较数的变化． 例6 某商店将彩电按原价提 40%，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”，结果每台彩电比原价多赚了270元，试问彩电原价是多少元？ 解 设原价为x，则有 依题意得方程 x(1＋40%)80%－x=270， (x=2250元，解方程略) 此题中，有两个百分率，提价率40%，是以原价x为标准数的，“八折优惠”是以提价后的价格x(1+40%)为标准数的．标准数不弄清楚，往往发生错误．如某种商品先提价10％后，再降价10％出售，问出售价与原价那个值大 原价大于出售价，其原因是标准数变化了． 例7 一月份每台电视机毛利润是出售价的20%(毛利润=售价－进价)，二月份将售价调低10%，结果销售台数比一月份增加120%，那么二月份的毛利润总额与一月份的毛利润总额相比，其比值是多少？ 解 依题意，有 其所求的比值为0.22na：0.20na=1.1∶1． 此题的述语中，要注意“增加”120％与“增加到”120%的区别，增加 120%，相当于增加到 220%． 4．浓度问题 例8 一桶药，倒出8升后，用水加满．然后又倒出4升，再用水加满，此时桶内纯药水与水之体积比为18∶7，求桶的容积． 依题意药与水之比为18：7得： 化简得7x2－300x+800=0(容积为40升，解略)． 小结 此类问题，有两个基本关系式：浓度=溶质/溶液，溶液=溶质+溶剂．如果用浓度=溶质/溶液，列方程可得［x－8－(x－8)／x·4］∶x=18∶(18＋7)，其计算结果相同． 5．最大利润问题 例9 某商店出售一种商品，如果每出售一件要获利20元，平均每天只能出售100件；如果每件少获利n元，则每天能多出售10n件．问价格如何调整时，该商店平均一天能获得最大利润？最大利润是多少？ 解 依题意，有 设总利润为y