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第九章 概率与统计初步 一、计数原理 （分类计数）加法原理：完成一件事情，有类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法，……在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事情，共有：种不同的方法； （分步计数）分步乘法原理：完成一件事情，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，……做第步有种不同的方法，那么完成这件事情，共有：种不同的方法； 区分做事情的方法是“分类”还是“分步”主要看能否一步做完，能够一步做完的就是分类（用加法原理），不能一步做完的，就是分步（用乘法原理）； 二、排列与组合 排列数公式：从个不同的元素中取出个不同元素的所有排列的个数，叫做从个不同的元素中取出个不同元素的排列数，用符号表示，且： 的阶乘：自然数1到的连乘积，叫做的阶乘，记作：，且： 组合数公式：从个不同的元素中取出个不同元素的所有组合的个数，叫做从个不同的元素中取出个不同元素的组合数，用符号表示，且： 组合数公式也可写为： 组合数的两个性质： 排列与组合的区别：排列与顺序有关；组合与顺序无关。 三、概率 基本概念 随机现象：在相同的条件下，具有多种可能的结果，而事先又无法确定会出现哪种结果的现象； 随机试验的特征：可以在相同的条件下重复进行；试验的所有可能结果是可以明确知道的，并且这些可能结果不止一个；每次试验之前不能准确预言哪一个结果会发生； 随机事件：随机试验的结果叫做随机事件，简称事件，常用大写字母A、B、C表示； 必然事件：在一次随机试验中必然要发生的事件，用表示（读作“omiga”， 对应的小写希腊字母是“ω”）； 不可能事件：在一次随机试验中不可能发生的事件，用表示（读作“fai”）； 基本事件：随机事件中不能分解的事件称为基本事件，即：最简单的随机事件； 复合事件：由若干个基本事件组成的事件称为复合事件； 频数与频率 频数：在次重复试验中，事件发生了次，叫做事件发生的频数； 频率：在次重复试验中，事件发生的频数在试验总次数中所占的比例，叫做事件A发生的频率； 概率 一般地，当试验的次数充分大时，如果事件发生的频率总稳定在某个常数附件，那么就把这个常数叫做事件发生的概率，记作：； 概率的性质： 对于必然事件： 对于不可能事件： 古典概型 古典概型：如果一个随机试验的基本事件只有有限个，并且各个基本事件发生的可能性相同，那么称这个随机试验属于古典概型； 概率：设试验共有个基本事件，并且每一个基本事件发生的可能性都相同，事件包含个基本事件，那么事件发生的概率为： 事件的“交”：“”表示同时发生，记作：； 事件的“并”：“”表示中至少有一个会发生，又称为事件与事件的和事件； 事件的“否”：表示事件的对立事件；（读作a bar，“A拔”） 互为对立的事件：若事件是事件的对立面，且;（对立事件的理解：在任何一次随机试验中，事件与有且仅有一个发生） 互斥事件（互不相容事件）：不可能同时发生的两个事件，即：；（对立事件是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件） 相互独立事件：在随机试验中，如果事件的发生不会影响事件发生的可能性的大小，即在事件发生的情况下，事件发生的概率等于事件原来的概率，那么称事件与事件相互独立；(事件发生与否，不影响事件的概率) 若、是互斥事件，则： 若、是对立事件，则：，即： 若、不是互斥事件，则： 若、是相互独立事件，则： 四、总体、样本与抽样方法 例1：为了了解全校1120名一年级学生的身高情况，从中抽取100名学生进行测量； 总体：在统计中，所研究对象的全体；例1中“全校1120名一年级学生的身高”是总体； 个体：组成总体的每一个对象；例1中“全校每一位一年级学生的身高”是个体； 样本：被抽取出来的个体的集合；例1中“抽取的100名一年级学生的身高”是样本； 样本容量：样本所含个体的数目；例1中“100”是样本容量； 抽样的方法有三种：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样； 说明：当总体中的个数比较小时，常采取简单随机抽样；当总体中的个数比较多，且其分布没有明显的不均匀情况，常采用系统抽样；当总体由差异明显的几个部分组成时，常采用分层抽样； 五、用样本估计总体 样本均值： 样本方差： 样本标准差： 说明：均值反映了样本和总体的平均水平；方差和标准差则反映了样本和总体的波动大小程度； 作频率分布直方图的方法：①把横轴分成若干段，每一线段对应一个组的组距；②然后以此线段为底作一矩形，它的高等于该组的频率/组距；这样得出一系列的矩形，每个矩形的面积恰好是该组上的频率，这些矩形就构成了频率分布直方图。 注：频数是指各组内数据的个数；每组的频数与全体数据的个数之比叫做该组的