人教版八年级数学上册第十三章课题学习研究最短路径问题.pptx

八年级 上册13.4 课题学习 最短路径问题　引言：　前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”． 引入新知BAl　问题1　相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？探索新知BAl探索新知　精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．　你能将这个问题抽象为数学问题吗？ B·A·l探索新知　追问1　这是一个实际问题，你打算首先做什么？ 　将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线． BAlC探索新知现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小（如图）． B·A·lCB′探索新知　如图，点A，B 在直线l 的同侧,点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ 　　作法：（1）作点B 关于直线l 的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l 相交于点C． 则点C 即为所求． B·A·C′lCB′你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ 证明：如图,在直线l 上任取一点C(与点C 不重合）,连接AC, BC, BC.则 BC =B′C，BC′=B′C′． ∴　AC +BC= AC +B′C = AB′， AC′+BC′= AC′+B′C′． 在△AB′C′中， AB′＜AC′+B′C′，∴　AC +BC＜AC′+BC′．即　AC +BC 最短．CQ河岸山PAB大桥运用新知如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径．CQ河岸山PAB大桥运用新知　基本思路：由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q 在直线BC 的同侧，如何在BC上找到一点R，使PR与QR 的和最小”． AB造桥选址问题如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）AB思路分析 1.如图假定任选位置造桥ＭＮ，连接ＡＭ和ＢＮ，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？ＭＮ 2.如何利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？思维火花 我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？1、把A平移到岸边.2、把B平移到岸边.3、把桥平移到和A相连.4、把桥平移到和B相连.AB理由；另任作桥M1N1，连接AM1,BN1, A1N1.A1Ｍ１M由平移性质可知，AM＝A1N, AM1＝A1N1.AA1＝MN＝M1N1，Ｎ１N∴AM+MN+BN=AA1＋A1B，AM1+M1N1+BN1=AA1＋A1N1＋BN1.在△Ａ1Ｎ1B中，A1N1+BN1＞A1B因此AM1+M1N1+BN1＞ AM+MN+BN如图，平移A到A1，使AA1等于河宽，连接A1Ｂ交河岸于Ｎ作桥ＭＮ，此时路径ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短.问题延伸一如图，A和B两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥MN和PQ.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）思维分析如图，问题中所走总路径是AM+MN+NP+PQ+ＱＢ．桥MN和PQ在中间，且方向不能改变，仍无法直接利用“两点之间，线段最短”解决问题，只有利用平移变换转移到两侧或同一侧先走桥长.平移的方法有三种：两个桥长都平移到A点处、都平移到B点处、MN平移到A点处，PQ平移到B点处思维方法一 1、沿垂直于第一条河岸的方向平移A点至AA1使AA1=MN，此时问题转化为问题基本题型两点（A1、B点）和一条河建桥（PQ）2、利用基本问题的解决方法确定桥PQ：（1）在沿垂直于第二条河岸的方向平移A1至A2， 使A1A2=PQ.（2）连接A2B交A2的对岸Q点，在点处建桥PQ.3、确定PQ的位置，也确定了BQ和PQ，此时问题可转化为由A点、P点和第一条河确定桥MN的位置.连接A1P交Ａ１的对岸于Ｎ点，在Ｎ点处建桥ＭＮ．问题解决沿垂直于河岸方向依次把Ａ点Ａ１、Ａ２，使ＡＡ１＝ＭＮ，Ａ１Ａ２　＝ＰＱ　；连接Ａ２Ｂ交于Ｂ点相邻河岸于Ｑ点，建桥ＰＱ；连接Ａ１Ｐ交Ａ